(15,0) Encontre a série de Maclaurin para f(x)=e^{x}.

Passo 1

O enunciado pede: encontre a série de Maclaurin para a função f(x)=e^{x}.
Informações dadas: a função é f(x)=e^{x}. A série de Maclaurin é a série de Taylor centrada em 0.
Pergunta clara: escrever a expansão em série de potências de f em torno de x=0 (ou seja, obter os coeficientes e a forma geral da série).

Passo 2

Apresento a fórmula de Taylor/Maclaurin e explico cada termo. A fórmula geral da série de Taylor de uma função f em torno de a é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n,
onde:
  • f^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de f avaliada em x=a;
  • n! é o fatorial de n, definido por n!=1\cdot2\cdot3\cdots n e 0!=1;
  • (x-a)^n é a potência que desloca a série para o ponto a.
    A série de Maclaurin é o caso especial com a=0:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n.
Essa fórmula transforma o conhecimento das derivadas de f em coeficientes da série de potências.

Passo 3

Calculo as derivadas de f(x)=e^{x} e avalio em 0.
Observação: a derivada de e^{x} é sempre e^{x}. Ou seja,
f(x)=e^{x},\quad f'(x)=e^{x},\quad f''(x)=e^{x},\quad \ldots,\quad f^{(n)}(x)=e^{x}\\ \text{para todo }n\ge0.
Logo, avaliando em x=0,
f^{(n)}(0)=e^{0}=1\qquad\text{para todo }n\ge0.
Portanto, os coeficientes da série de Maclaurin são \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}=\dfrac{1}{n!}.

Passo 4

Formo o polinômio de Taylor de ordem N (polinômio de Maclaurin truncado) usando os coeficientes encontrados:
P_N(x)=\sum_{k=0}^{N}\frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^N}{N!}.
Esse P_N(x) é uma aproximação de e^{x}. Para justificar que a sequência P_N(x) converge para e^{x} quando N\to\infty, analisamos o resto.

Passo 5

Apresento a forma do resto no Teorema de Taylor (forma de Lagrange) e uso para e^{x}. O resto R_N(x) pode ser escrito como
R_N(x)=\frac{f^{(N+1)}(\xi)}{(N+1)!}x^{N+1}
para algum \xi entre 0 e x. Para f(x)=e^{x} temos f^{(N+1)}(\xi)=e^{\xi}, então
|R_N(x)|=\left|\frac{e^{\xi}}{(N+1)!}x^{N+1}\right|\le\frac{e^{|x|}}{(N+1)!}|x|^{N+1}.
Como (N+1)! cresce muito mais rápido do que |x|^{N+1}, o quociente tende a zero quando N\to\infty. Assim R_N(x)\to0 e P_N(x)\to e^{x}. Portanto a série de Maclaurin (com todos os termos) representa e^{x} para todo x.

Passo 6

Outra justificativa rápida da convergência para todos x é o teste da razão aplicado aos coeficientes da série de potências. Seja a_n=\dfrac{1}{n!}. Então
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_n x^n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{n+1}=0.
Como esse limite é 0<1 para todo x, a série converge absolutamente para todo x (ou seja, o raio de convergência é infinito). Isso confirma que o polinômio truncado converge para e^{x} quando N\to\infty.

Passo 7

Dou um exemplo numérico prático para ganhar confiança: aproximar e^1=e com N=4:
P_4(1)=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=2{,}708333\ldots
O erro absoluto está limitado por
|R_4(1)|\le\frac{e^{1}}{5!}\,1^{5}\le\frac{e}{120}\approx\frac{2{,}71828}{120}\approx0{,}02265,
logo a aproximação está bem próxima do valor real e\approx2{,}71828. Com mais termos a aproximação melhora rapidamente porque n! cresce rápido.

Resposta

e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots

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