(15,0) Encontre a série de Maclaurin para f(x)=e^{x}.
Passo 1
O enunciado pede: encontre a série de Maclaurin para a função f(x)=e^{x}.
Informações dadas: a função é f(x)=e^{x}. A série de Maclaurin é a série de Taylor centrada em 0.
Pergunta clara: escrever a expansão em série de potências de f em torno de x=0 (ou seja, obter os coeficientes e a forma geral da série).
Passo 2
Apresento a fórmula de Taylor/Maclaurin e explico cada termo. A fórmula geral da série de Taylor de uma função f em torno de a é
Como (N+1)! cresce muito mais rápido do que |x|^{N+1}, o quociente tende a zero quando N\to\infty. Assim R_N(x)\to0 e P_N(x)\to e^{x}. Portanto a série de Maclaurin (com todos os termos) representa e^{x} para todo x.
Passo 6
Outra justificativa rápida da convergência para todos x é o teste da razão aplicado aos coeficientes da série de potências. Seja a_n=\dfrac{1}{n!}. Então
Como esse limite é 0<1 para todo x, a série converge absolutamente para todo x (ou seja, o raio de convergência é infinito). Isso confirma que o polinômio truncado converge para e^{x} quando N\to\infty.
Passo 7
Dou um exemplo numérico prático para ganhar confiança: aproximar e^1=e com N=4: