8.15 A parede plana de uma câmara frigorífica é composta de uma chapa externa de aço de espessura L_{A}=2 \mathrm{~mm} com condutividade térmica k_{A}=40 \frac{\mathrm{~W}}{\mathrm{~m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}} e de uma chapa interna de plástico de espessura L_{p}=3 \mathrm{~mm} com condutividade térmica k_{p}=0,20 \frac{\mathrm{~W}}{\mathrm{~m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}}. Entre essas chapas há uma camada de lã de vidro de espessura L_{l v}=5 \mathrm{~cm} e condutividade térmica k_{l v}=0,04 \frac{\mathrm{~W}}{\mathrm{~m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}}. A área total da parede da câmara é A=30 \mathrm{~m}^{2}. A chapa de aço está em contato com o ar ambiente, que permanece com temperatura T_{\mathrm{ar}}=25^{\circ} \mathrm{C} e coeficiente de transferência de calor por convecção h_{\mathrm{ar}}=4 \frac{\mathrm{~W}}{\mathrm{~m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}}. Considere que a condução de calor é unidimensional e em regime permanente. Determine a quantidade de calor que o equipamento de refrigeração deve retirar por minuto do interior da câmara frigorífica, para que a superfície da chapa de plástico que está em contato com o ar interno permaneça à temperatura \mathrm{T}_{p, i}=-10^{\circ} \mathrm{C}. Resp.: 41580 \frac{\mathrm{~J}}{\mathrm{~min}}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a quantidade de calor que o equipamento de refrigeração deve retirar por minuto do interior da câmara, de modo que a superfície interna da chapa de plástico fique à temperatura T_{p,i}=-10^\circ\mathrm{C}. As informações fornecidas são:
\begin{aligned} &L_A = 2\\ \mathrm{mm} = 0{,}002\\ \mathrm{m},\\\ &k_A = 40\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}\cdot^\circ\mathrm{C}},\\\ &L_p = 3\\ \mathrm{mm} = 0{,}003\\ \mathrm{m},\\\ &k_p = 0{,}20\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}\cdot^\circ\mathrm{C}},\\\ &L_{lv} = 5\\ \mathrm{cm} = 0{,}05\\ \mathrm{m},\\\ &k_{lv} = 0{,}04\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}\cdot^\circ\mathrm{C}},\\\ &A = 30\\ \mathrm{m}^2,\\\ &T_{\mathrm{ar}} = 25^\circ\mathrm{C},\\\ &h_{\mathrm{ar}} = 4\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}},\\\ &T_{p,i} = -10^\circ\mathrm{C}. \end{aligned}
Condição: condução unidimensional e regime permanente. A chapa de aço está em contato com o ar ambiente (convecção externa). A superfície interna do plástico já tem a temperatura fixa T_{p,i} (fornecida), portanto não precisamos modelar convecção interna — o sistema térmico entre o ar ambiente e essa superfície interna é o que define o fluxo de calor que o refrigerador deve remover.

Passo 2

Escolha do método e representação física (explicação didática).
Quando temos camadas planas em série e convecção em uma face, o fluxo de calor em regime permanente é o mesmo em toda a série e pode ser obtido através de uma soma de resistências térmicas. Isso é análogo a resistências elétricas em série: a diferença de temperatura entre os extremos dividida pela soma das resistências dá a taxa de transferência de calor.
Definimos:
q''=\text{fluxo de calor por unidade de área (W/m}^2\text{)},á
\Delta T = T_{\mathrm{ar}} - T_{p,i}.
As resistências térmicas por unidade de área (m^2·K/W) são:
  • resistência convectiva externa: \displaystyle R_{\text{conv}}=\frac{1}{h_{\mathrm{ar}}},
  • resistência de condução de cada camada: \displaystyle R_{\text{cond},i}=\frac{L_i}{k_i}.
Como as camadas estão em série (ar ⇢ convecção ⇢ aço ⇢ lã de vidro ⇢ plástico ⇢ superfície interna), a resistência térmica total por unidade de área é
R'_{\text{total}} = \frac{1}{h_{\mathrm{ar}}} + \frac{L_A}{k_A} + \frac{L_{lv}}{k_{lv}} + \frac{L_p}{k_p}.
A lei que liga tudo é:
q'' = \frac{\Delta T}{R'_{\text{total}}} = \frac{T_{\mathrm{ar}} - T_{p,i}}{R'_{\text{total}}}.
E a potência total é
\dot{Q} = q'' \, A.
Finalmente, para obter a energia que o refrigerador deve retirar por minuto, converto \dot{Q} (W = J/s) para J/min multiplicando por 60:
Q_{\text{min}} = \dot{Q}\times 60.

Passo 3

Calculo de cada resistência (explicando unidades e interpretação).
Calculo a diferença de temperatura:
\Delta T = T_{\mathrm{ar}} - T_{p,i} = 25 - (-10) = 35\\ ^\circ\mathrm{C}.
Agora cada termo de R'_{\text{total}}:
  1. Resistência convectiva externa:
\frac{1}{h_{\mathrm{ar}}} = \frac{1}{4} = 0{,}25\\ \mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}.
Interpretação: para cada 0{,}25\\ \mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W} de resistência, uma diferença de temperatura de 1^\circ\mathrm{C} gera 1\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 de fluxo — é a “dificuldade” da convecção em transferir calor.
  1. Aço (condução):
\frac{L_A}{k_A} = \frac{0{,}002}{40} = 0{,}00005\\ \mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}.
Muito pequeno porque aço conduz bem.
  1. Lã de vidro (condução):
\frac{L_{lv}}{k_{lv}} = \frac{0{,}05}{0{,}04} = 1{,}25\\ \mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}.
Este é o maior termo: o isolamento determina a maior parte da resistência térmica.
  1. Plástico (condução):
\frac{L_p}{k_p} = \frac{0{,}003}{0{,}20} = 0{,}015\\ \mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}.

Passo 4

Soma das resistências e cálculo do fluxo por unidade de área.
Somando:
R'_{\text{total}} = 0{,}25 + 0{,}00005 + 1{,}25 + 0{,}015 = 1{,}51505\\ \mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}.
Fluxo por unidade de área:
q'' = \frac{35}{1{,}51505} \approx 23{,}1015\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Interpretação: cada metro quadrado da parede transfere, em regime, cerca de 23{,}1\\ \mathrm{W} devido à diferença de 35^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Potência total e conversão para J/min.
Potência total (W):
\dot{Q} = q''\,A = 23{,}1015 \times 30 \approx 693{,}045\\ \mathrm{W}.
Energia por minuto (J/min):
Q_{\text{min}} = \dot{Q}\times 60 \approx 693{,}045 \times 60 \approx 41\,582{,}7\\ \mathrm{J}/\mathrm{min}.
Arredondando de forma compatível com o enunciado, obtemos aproximadamente 41\,580\\ \mathrm{J}/\mathrm{min}.

Resposta

4{,}1580\times 10^{4}\\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{min}}

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