Informações relevantes extraídas do enunciado: \;F(t)\] é contínua por partes e tem suporte em \([0,2\pi] (ou seja, é nula para t>2\pi).
As condições iniciais são homogêneas: s(0)=0 e s'(0)=0.
A tarefa é encontrar s(t) para todos os t\ge 0, o que naturalmente levará a expressões diferentes em intervalos onde F(t) muda de definição: 0\le t\le\pi, \pi<t\le 2\pi e t>2\pi.]
Passo 2
Vamos obter uma fórmula geral que resolve o problema com s(0)=s'(0)=0. Para a equação
s''+s=F(t)
a solução da homogênea é combinação linear de \cos t e \sin t. Existe uma construção muito útil (método de Duhamel / função de Green para este oscilador) que dá diretamente a solução para condições iniciais nulas:
s(t)=\int_{0}^{t}\sin(t-\tau)\,F(\tau)\,d\tau.
Explico por que isso funciona: considere a função g(t)=\sin t para t\ge0. Tem g''+g=0, g(0)=0, g'(0)=1. Se multiplicarmos por F(\tau) e integrarmos em \tau obtém-se a resposta acumulada do sistema devido às “forças” aplicadas em instantes passados; a derivação formal usa variação de constantes / superposição e garante que a fórmula acima respeita tanto a equação quanto as condições iniciais nulas. Portanto, basta calcular essa integral-convolução para o F(t) dado.
Também usaremos a identidade trigonométrica útil para integrar mais facilmente:
Cálculo para t>2\pi. Como F(\tau)=0 para \tau>2\pi, a integral-convolução truncase a
s(t)=\int_{0}^{2\pi}\sin(t-\tau)\,F(\tau)\,d\tau.
Usando a mesma decomposição em I_{c} e I_{s} mas avaliadas em t=2\pi obtemos os valores totais das integrais (já calculados no Passo 4 ao levar t\to 2\pi):
s(t)=\sin t\cdot(-2F_{0})-\cos t\cdot 0=-2F_{0}\sin t.
Isto significa que depois que a força cessa (t>2\pi) o sistema vibra livremente com amplitude proporcional a 2F_{0} e fase tal que s(2\pi)=0 (coerente com o resultado do intervalo anterior).
Passo 6
Verificações rápidas de continuidade (conforto para a prova): em t=\pi o valor do Passo 3 dá
logo contínuo em \pi. Em t=2\pi o valor do Passo 4 dá s(2\pi)=0 e o do Passo 5 também dá s(2\pi)=0, então contínuo em 2\pi também. Isso confirma coerência entre os trechos.