(15.) Encontre a solução do problema de valor inicial
s^{\prime \prime}+s=F(t), \quad s(0)=0, \quad s^{\prime}(0)=0
onde
F(t)=\left\{\begin{array}{lr} F_{0} t, & 0 \leq t \leq \pi, \\\ F_{0}(2 \pi-t), & \pi<t \leq 2 \pi, \\\\ 0, & 2 \pi<t . \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução s(t)\) do problema de valor inicial \[s^{\prime\prime}+s=F(t),\qquad s(0)=0,\qquad s^{\prime}(0)=0,
onde a força F(t) é dada por
F(t)=\begin{cases} F_{0}\,t, & 0\le t\le \pi,\\[4pt] F_{0}\,(2\pi-t), & \pi<t\le 2\pi,\\[4pt] 0, & 2\pi<t. \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\;F(t)\] é contínua por partes e tem suporte em \([0,2\pi] (ou seja, é nula para t>2\pi).
As condições iniciais são homogêneas: s(0)=0 e s'(0)=0.
A tarefa é encontrar s(t) para todos os t\ge 0, o que naturalmente levará a expressões diferentes em intervalos onde F(t) muda de definição: 0\le t\le\pi, \pi<t\le 2\pi e t>2\pi.]

Passo 2

Vamos obter uma fórmula geral que resolve o problema com s(0)=s'(0)=0. Para a equação
s''+s=F(t)
a solução da homogênea é combinação linear de \cos t e \sin t. Existe uma construção muito útil (método de Duhamel / função de Green para este oscilador) que dá diretamente a solução para condições iniciais nulas:
s(t)=\int_{0}^{t}\sin(t-\tau)\,F(\tau)\,d\tau.
Explico por que isso funciona: considere a função g(t)=\sin t para t\ge0. Tem g''+g=0, g(0)=0, g'(0)=1. Se multiplicarmos por F(\tau) e integrarmos em \tau obtém-se a resposta acumulada do sistema devido às “forças” aplicadas em instantes passados; a derivação formal usa variação de constantes / superposição e garante que a fórmula acima respeita tanto a equação quanto as condições iniciais nulas. Portanto, basta calcular essa integral-convolução para o F(t) dado.
Também usaremos a identidade trigonométrica útil para integrar mais facilmente:
\sin(t-\tau)=\sin t\cos\tau-\cos t\sin\tau,
o que permite escrever
s(t)=\sin t\int_{0}^{t}\cos\tau\,F(\tau)\,d\tau-\cos t\int_{0}^{t}\sin\tau\,F(\tau)\,d\tau.
Chamarei
I_{c}(t)=\int_{0}^{t}\cos\tau\,F(\tau)\,d\tau,\qquad I_{s}(t)=\int_{0}^{t}\sin\tau\,F(\tau)\,d\tau,
e vou calcular I_{c} e I_{s} em cada intervalo relevante.

Passo 3

Cálculo para 0\le t\le \pi. Neste caso \;F(\tau)=F_{0}\tau para 0\le\tau\le t. Calculamos I_{c} e I_{s}:
Primeiro, integrar por partes para \int \tau\cos\tau\,d\tau. Tome u=\tau, dv=\cos\tau\,d\tau então du=d\tau, v=\sin\tau. Assim
\int \tau\cos\tau\,d\tau=\tau\sin\tau-\int\sin\tau\,d\tau=\tau\sin\tau+\cos\tau+C.
Logo
I_{c}(t)=F_{0}\int_{0}^{t}\tau\cos\tau\,d\tau =F_{0}\bigl[t\sin t+\cos t-1\bigr].
Agora \int \tau\sin\tau\,d\tau. Faça u=\tau, dv=\sin\tau\,d\tau então v=-\cos\tau. Resultado:
\int \tau\sin\tau\,d\tau=-\tau\cos\tau+\sin\tau+C.
Portanto
I_{s}(t)=F_{0}\int_{0}^{t}\tau\sin\tau\,d\tau =F_{0}\bigl[-t\cos t+\sin t\bigr].
Substituindo em
s(t)=\sin t\,I_{c}(t)-\cos t\,I_{s}(t),
temos
s(t)=F_{0}\Bigl[\sin t\bigl(t\sin t+\cos t-1\bigr)-\cos t\bigl(-t\cos t+\sin t\bigr)\Bigr].
Agora simplificamos: desenvolvendo os termos,
s(t)=F_{0}\Bigl(t\sin^{2}t+\sin t\cos t-\sin t + t\cos^{2}t-\sin t\cos t\Bigr).
Os termos \sin t\cos t se cancelam e \sin^{2}t+\cos^{2}t=1, daí sobra
s(t)=F_{0}\bigl(t-\sin t\bigr)\qquad\text{para }0\le t\le\pi.

Passo 4

Cálculo para \pi<t\le 2\pi. Agora F(\tau) muda em \tau=\pi. Para t neste intervalo,
I_{c}(t)=\int_{0}^{t}\cos\tau\,F(\tau)\,d\tau =F_{0}\Bigl(\int_{0}^{\pi}\tau\cos\tau\,d\tau+\int_{\pi}^{t}(2\pi-\tau)\cos\tau\,d\tau\Bigr).
Já calculámos a antiderivada A(\tau)=\tau\sin\tau+\cos\tau para \tau\cos\tau. Então
\int_{0}^{\pi}\tau\cos\tau\,d\tau=A(\pi)-A(0)=\bigl(\pi\sin\pi+\cos\pi\bigr)-\cos0= (-1)-1=-2.
Para a segunda integral use decomposição
\int(2\pi-\tau)\cos\tau\,d\tau =2\pi\sin\tau-\bigl(\tau\sin\tau+\cos\tau\bigr)+C,
portanto
\int_{\pi}^{t}(2\pi-\tau)\cos\tau\,d\tau =\bigl(2\pi\sin t-t\sin t-\cos t\bigr)-\bigl(2\pi\sin\pi-\pi\sin\pi-\cos\pi\bigr).
Como \sin\pi=0 e \cos\pi=-1, essa expressão é
2\pi\sin t-t\sin t-\cos t -(+1)=2\pi\sin t-t\sin t-\cos t+1.
Somando com -2 obtemos
I_{c}(t)=F_{0}\bigl(-1+2\pi\sin t-t\sin t-\cos t\bigr).
Agora I_{s}(t)=\int_{0}^{t}\sin\tau\,F(\tau)\,d\tau. Já conhecemos a antiderivada B(\tau)=-\tau\cos\tau+\sin\tau para \tau\sin\tau. Assim
\int_{0}^{\pi}\tau\sin\tau\,d\tau=B(\pi)-B(0)=\bigl(-\pi\cos\pi+\sin\pi\bigr)-0=\pi.
Para a parte \int_{\pi}^{t}(2\pi-\tau)\sin\tau\,d\tau usamos
\int(2\pi-\tau)\sin\tau\,d\tau=-2\pi\cos\tau+\tau\cos\tau-\sin\tau + C,
então avaliando de \pi a t obtemos (lembrando \cos\pi=-1, \sin\pi=0)
\bigl(-2\pi\cos t+t\cos t-\sin t\bigr)-\bigl(-2\pi\cos\pi+\pi\cos\pi-\sin\pi\bigr) =\bigl(-2\pi\cos t+t\cos t-\sin t\bigr)-\pi.
Somando com \pi da primeira parte cancela o \pi e ficamos com
I_{s}(t)=F_{0}\bigl(-2\pi\cos t+t\cos t-\sin t\bigr).
Agora substituímos em s(t)=\sin t\,I_{c}(t)-\cos t\,I_{s}(t):
s(t)=F_{0}\Bigl[\sin t\bigl(-1+2\pi\sin t-t\sin t-\cos t\bigr)-\cos t\bigl(-2\pi\cos t+t\cos t-\sin t\bigr)\Bigr].
Desenvolvendo e simplificando (observe que termos em \sin t\cos t se cancelam e que \sin^{2}t+\cos^{2}t=1) obtemos
s(t)=F_{0}\bigl(2\pi-t-\sin t\bigr)\qquad\text{para }\pi<t\le 2\pi.

Passo 5

Cálculo para t>2\pi. Como F(\tau)=0 para \tau>2\pi, a integral-convolução truncase a
s(t)=\int_{0}^{2\pi}\sin(t-\tau)\,F(\tau)\,d\tau.
Usando a mesma decomposição em I_{c} e I_{s} mas avaliadas em t=2\pi obtemos os valores totais das integrais (já calculados no Passo 4 ao levar t\to 2\pi):
\int_{0}^{2\pi}\cos\tau\,F(\tau)\,d\tau= -2F_{0},\qquad \int_{0}^{2\pi}\sin\tau\,F(\tau)\,d\tau=0.
Portanto, para t>2\pi,
s(t)=\sin t\cdot(-2F_{0})-\cos t\cdot 0=-2F_{0}\sin t.
Isto significa que depois que a força cessa ( t>2\pi) o sistema vibra livremente com amplitude proporcional a 2F_{0} e fase tal que s(2\pi)=0 (coerente com o resultado do intervalo anterior).

Passo 6

Verificações rápidas de continuidade (conforto para a prova): em t=\pi o valor do Passo 3 dá
s(\pi)=F_{0}\bigl(\pi-\sin\pi\bigr)=F_{0}\pi,
e o do Passo 4 em t=\pi
s(\pi)=F_{0}\bigl(2\pi-\pi-\sin\pi\bigr)=F_{0}\pi,
logo contínuo em \pi. Em t=2\pi o valor do Passo 4 dá s(2\pi)=0 e o do Passo 5 também dá s(2\pi)=0, então contínuo em 2\pi também. Isso confirma coerência entre os trechos.

Resposta

s(t)=F_{0}\bigl(t-\sin t\bigr),\qquad 0\le t\le \pi
s(t)=F_{0}\bigl(2\pi-t-\sin t\bigr),\qquad \pi<t\le 2\pi
s(t)=-2F_{0}\sin t,\qquad t>2\pi

Exercícios relacionados