Determine e esboce o domínio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar e esboçar o domínio.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função usa a raiz quadrada (radicando é
). - Estamos buscando o domínio como subconjunto de
onde está bem definida como número real.
Passo 2
Princípio básico que vamos usar (aula rápida): a raiz quadrada real
está definida somente para números reais
que satisfaçam
. Ou seja, para
ser um número real precisamos ter
Aqui
e
são as coordenadas no plano e
é o produto delas. Esse é o único requisito para o domínio.
Passo 3
Resolver a desigualdade
de forma didática: o produto de dois números reais é não negativo quando eles têm o mesmo sinal (ambos não negativos ou ambos não positivos) ou quando pelo menos um deles é zero. Em termos de casos:
- Se
então precisamos de para . - Se
então precisamos de para . - Se
então para qualquer (portanto permitido). - Se
então para qualquer (também permitido).
Esse raciocínio é a forma prática de fazer uma tabela de sinais: sinais iguais → produto não negativo; sinais diferentes → produto negativo.
Passo 4
Escrever o domínio em forma de conjunto usando o resultado do passo anterior. Uma descrição limpa é
Uma forma útil e equivalente, que deixa claro as duas regiões, é
Isso significa: o domínio é a união do primeiro quadrante (incluindo os eixos) com o terceiro quadrante (incluindo os eixos). Note que os eixos
e
pertencem ao domínio porque
aí, e
.
Passo 5
Como esboçar o domínio no plano (passo a passo para fazer na prova):
- Desenhe os eixos
e . - Pinte o primeiro quadrante (onde
e ). Inclua a borda (os eixos). - Pinte o terceiro quadrante (onde
e ). Inclua a borda (os eixos). - Não pinte o segundo e o quarto quadrantes (neles
).
No esboço, os pontos sobre os eixos aparecem pintados (valem), e o interior dos quadrantes 2 e 4 ficam em branco (não valem).
Passo 6
Verificações rápidas com pontos (para treinar e garantir que você entendeu):
-
: → pertence. -
: → pertence. -
: → não pertence. -
: → pertence (valor da função é ). -
: → pertence (valor ).