Determine e esboce o domínio das seguintes funções:
f(x, y)=\sqrt{x y}

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x,y)=\sqrt{x y}\; e pede para determinar e esboçar o domínio.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função usa a raiz quadrada (radicando é x y).
  • Estamos buscando o domínio como subconjunto de \mathbb{R}^2 onde f está bem definida como número real.

Passo 2

Princípio básico que vamos usar (aula rápida): a raiz quadrada real \sqrt{t} está definida somente para números reais t que satisfaçam \;t\ge 0\;. Ou seja, para \sqrt{x y} ser um número real precisamos ter
x y \ge 0.
Aqui \;x e \;y são as coordenadas no plano e \;xy é o produto delas. Esse é o único requisito para o domínio.

Passo 3

Resolver a desigualdade \;x y \ge 0\; de forma didática: o produto de dois números reais é não negativo quando eles têm o mesmo sinal (ambos não negativos ou ambos não positivos) ou quando pelo menos um deles é zero. Em termos de casos:
  • Se x>0 então precisamos de y\ge 0 para xy\ge0.
  • Se x<0 então precisamos de y\le 0 para xy\ge0.
  • Se x=0 então xy=0 para qualquer y (portanto permitido).
  • Se y=0 então xy=0 para qualquer x (também permitido).
Esse raciocínio é a forma prática de fazer uma tabela de sinais: sinais iguais → produto não negativo; sinais diferentes → produto negativo.

Passo 4

Escrever o domínio em forma de conjunto usando o resultado do passo anterior. Uma descrição limpa é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x y \ge 0\}.
Uma forma útil e equivalente, que deixa claro as duas regiões, é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge 0,\; y\ge 0\}\;\cup\;\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\le 0,\; y\le 0\}.
Isso significa: o domínio é a união do primeiro quadrante (incluindo os eixos) com o terceiro quadrante (incluindo os eixos). Note que os eixos x=0 e y=0 pertencem ao domínio porque xy=0 aí, e \sqrt{0}=0.

Passo 5

Como esboçar o domínio no plano (passo a passo para fazer na prova):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Pinte o primeiro quadrante (onde x\ge0 e y\ge0). Inclua a borda (os eixos).
  3. Pinte o terceiro quadrante (onde x\le0 e y\le0). Inclua a borda (os eixos).
  4. Não pinte o segundo e o quarto quadrantes (neles xy<0).
    No esboço, os pontos sobre os eixos aparecem pintados (valem), e o interior dos quadrantes 2 e 4 ficam em branco (não valem).

Passo 6

Verificações rápidas com pontos (para treinar e garantir que você entendeu):
  • (1,2): 1\cdot 2 = 2 \ge 0 → pertence.
  • (-1,-3): (-1)\cdot(-3)=3\ge0 → pertence.
  • (1,-2): 1\cdot(-2)=-2<0 → não pertence.
  • (0,5): 0\cdot5=0 → pertence (valor da função é 0).
  • (0,0): 0\cdot0=0 → pertence (valor 0).

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x y \ge 0\} = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge 0,\; y\ge 0\}\;\cup\;\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\le 0,\; y\le 0\}

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