Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
O enunciado pede para determinar o limite, se existir, ou mostrar que não existe, do seguinte quociente quando
se aproxima de
:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Observação importante (dada pela expressão): no ponto
o denominador vale
, então estamos falando de um limite em um ponto em que a função não está definida; o objetivo é estudar o comportamento quando nos aproximamos de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Vou explicar a ideia que vou usar (aquela ferramenta conceitual): em funções de duas variáveis, para que o limite exista e seja um número
, o valor da função deve tender a
para qualquer modo de nos aproximarmos de
. Uma maneira prática de provar que o limite não existe é encontrar dois caminhos de aproximação que produzam resultados diferentes (um pode dar um número finito diferente do outro, ou um pode dar infinito enquanto outro dá um número finito). Se isso ocorrer, concluímos que não há limite único.
Passo 3
Testo um caminho simples: aproximar por
. Substituindo
obtemos, para
,
Portanto, ao longo do caminho
temos
Isso mostra que, pelo menos por esse caminho, a função tende ao valor
.
Passo 4
Agora testo um caminho linear com declive não nulo:
com
. Substituo
na expressão (para
):
Coloco o denominador em evidência:
. Assim
Note que essa expressão tem um termo proporcional a
. Para
o coeficiente
é diferente de zero, logo ao fazermos
esse termo diverge: não convergirá para um número finito. Por exemplo, escolhendo
(ou seja
) obtemos
que tende para
quando
e para
quando
. Em qualquer caso, não há convergência para o mesmo número
obtido no passo anterior.
Passo 5
Conclusão lógica: pelo caminho
o limite vale
, enquanto pelo caminho
a expressão diverge (não tende a
, nem a nenhum número finito). Como encontramos dois modos de aproximar
que dão comportamentos distintos, o limite pedido não pode existir (não há um único número
que seja o limite ao longo de todas as direções).
Resposta
O limite não existe.