. 15 Um engenheiro eletricista empreendedor procurou uma grande empresa pública de abastecimento de água com uma proposta que promete reduzir a conta de energia elétrica da empresa em, pelo menos, 15 \% ao ano durante os próxi-
mos 5 anos, por meio da instalação de estabilizadores de voltagem patenteados. A proposta afirma que o engenheiro receberá \ 5.000 agora e pagamentos anuais que são equivalentes aã75 % das economias de energia obtidas com o uso desses dispositivos. Supondo que as economias sejam idênticas todos os anos (ou seja,ê15 % ) e que a conta de energia elétrica da empresa seja deé$1 milhāo por ano, qual seria o montante uniforme equivalente (anos 1 a 5 ) dos pagamentos efetuados ao engenheiro? Suponha que a empresa utilize uma taxa de juros deā6 %$ ao ano.

Passo 1

O problema pede para encontrar o montante uniforme equivalente, nos anos 1 a 5, dos pagamentos efetuados ao engenheiro. \n\nDados extraídos do enunciado:
  • Pagamento imediato ao engenheiro: \$5000 (agora, tempo t=0).
  • Conta de energia anual: \$1000000 por ano. (peguei esse valor do enunciado)
  • Economias previstas: \,15\% da conta, todos os anos, por 5 anos.
  • Fração das economias paga ao engenheiro: \,75\%.
  • Taxa de juros da empresa: \,6\% ao ano.
  • Período de interesse para o montante uniforme: anos 1 a 5.
O que precisamos calcular: um valor anual uniforme A (pagos nos anos 1 a 5) que seja equivalente, financeiramente (à taxa de 6\%), ao conjunto de pagamentos reais: \$5000 agora + pagamentos anuais de 75\% das economias nos anos 1 a 5.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma simples):\n\n1) Valor presente de uma série uniforme (anuidades). Se uma série de pagamentos iguais A ocorre nos finais de n anos, seu valor presente P (no tempo zero) é dado por
P = A \cdot (P/A,i,n)
onde o fator (P/A,i,n) é
(P/A,i,n)=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Aqui i é a taxa de juros por período (ex.: 0,06 para 6\%) e n é o número de períodos. Significado: (P/A) transforma uma série anual A em um valor único presente P.\n\n2) Para obter o pagamento uniforme A equivalente a um valor presente P, usamos a inversa:
A = P \cdot (A/P,i,n),
onde
(A/P,i,n)=\frac{i}{1-(1+i)^{-n}} = \frac{1}{(P/A,i,n)}.
Significado: (A/P) transforma um único valor presente P em uma anuidade A.\n\nEstratégia prática para este problema: calcular primeiro o valor presente P de todos os pagamentos reais (incluindo os \$5000 agora e os pagamentos anuais futuros). Depois converter esse P para um valor uniforme anual A nos anos 1 a 5 usando a fórmula acima.

Passo 3

Calculemos os pagamentos anuais que o engenheiro recebe (dados fornecidos):\n\nEconomia anual total = \,15\% de \$1000000:
\text{economia anual} = 0{,}15 \cdot 1000000 = 150000.
O engenheiro recebe \,75\% dessa economia:
\text{pagamento anual ao engenheiro} = 0{,}75 \cdot 150000 = 112500.
Portanto há uma anuidade de \$112500 paga nos finais dos anos 1,2,3,4,5, mais \$5000 pago imediatamente em t=0.

Passo 4

Calcular o valor presente (no tempo t=0) da anuidade de \$112500 por 5 anos a 6\%.\n\nPrimeiro calculemos o fator (P/A,i,n) com i=0{,}06 e n=5:
(P/A,0{,}06,5)=\frac{1-(1+0{,}06)^{-5}}{0{,}06}.
Calculemos (1+0{,}06)^5:
1{,}06^5 = 1{,}3382255776
e seu inverso:
(1{,}06)^{-5} = 0{,}747258172.
Assim
(P/A,0{,}06,5)=\frac{1-0{,}747258172}{0{,}06}=\frac{0{,}252741828}{0{,}06}=4{,}21236380.
Agora o valor presente da anuidade é
P_{\text{anu}} = 112500 \cdot 4{,}21236380 = 473890{,}9273.

Passo 5

Somamos o pagamento imediato para obter o valor presente total P:
P = P_{\text{anu}} + 5000 = 473890{,}9273 + 5000 = 478890{,}9273.
Esse P representa, no tempo zero, todo o conjunto de pagamentos ao engenheiro (o imediato e a anuidade).

Passo 6

Converter o valor presente P em um montante uniforme anual A (anos 1 a 5). Usamos
A = P \cdot (A/P,0{,}06,5)
onde
(A/P,0{,}06,5)=\frac{0{,}06}{1-(1{,}06)^{-5}}=\frac{1}{4{,}21236380}=0{,}237404.
Assim
A = 478890{,}9273 \cdot 0{,}237404 \approx 113687{,}15.
Interpretação: pagar \$113687{,}15 ao final de cada ano (anos 1 a 5) é financeiramente equivalente, à taxa de 6\%, ao pacote real de pagamentos ( \$5000 agora + \$112500 nos anos 1 a 5).

Resposta

\$113687{,}15

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