. 15 Um engenheiro eletricista empreendedor procurou uma grande empresa pública de abastecimento de água com uma proposta que promete reduzir a conta de energia elétrica da empresa em, pelo menos,
ao ano durante os próxi-
mos 5 anos, por meio da instalação de estabilizadores de voltagem patenteados. A proposta afirma que o engenheiro receberá
5.000
75 %
15 %
$1
6 %$ ao ano.
mos 5 anos, por meio da instalação de estabilizadores de voltagem patenteados. A proposta afirma que o engenheiro receberá
Passo 1
O problema pede para encontrar o montante uniforme equivalente, nos anos 1 a 5, dos pagamentos efetuados ao engenheiro. \n\nDados extraídos do enunciado:
- Pagamento imediato ao engenheiro:
(agora, tempo ). - Conta de energia anual:
por ano. (peguei esse valor do enunciado) - Economias previstas:
da conta, todos os anos, por anos. - Fração das economias paga ao engenheiro:
. - Taxa de juros da empresa:
ao ano. - Período de interesse para o montante uniforme: anos
a .
O que precisamos calcular: um valor anual uniforme
(pagos nos anos
a
) que seja equivalente, financeiramente (à taxa de
), ao conjunto de pagamentos reais:
agora + pagamentos anuais de
das economias nos anos
a
.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma simples):\n\n1) Valor presente de uma série uniforme (anuidades). Se uma série de pagamentos iguais
ocorre nos finais de
anos, seu valor presente
(no tempo zero) é dado por
onde o fator
é
Aqui
é a taxa de juros por período (ex.:
para
) e
é o número de períodos. Significado:
transforma uma série anual
em um valor único presente
.\n\n2) Para obter o pagamento uniforme
equivalente a um valor presente
, usamos a inversa:
onde
Significado:
transforma um único valor presente
em uma anuidade
.\n\nEstratégia prática para este problema: calcular primeiro o valor presente
de todos os pagamentos reais (incluindo os
agora e os pagamentos anuais futuros). Depois converter esse
para um valor uniforme anual
nos anos
a
usando a fórmula acima.
Passo 3
Calculemos os pagamentos anuais que o engenheiro recebe (dados fornecidos):\n\nEconomia anual total =
de
:
O engenheiro recebe
dessa economia:
Portanto há uma anuidade de
paga nos finais dos anos
, mais
pago imediatamente em
.
Passo 4
Calcular o valor presente (no tempo
) da anuidade de
por
anos a
.\n\nPrimeiro calculemos o fator
com
e
:
Calculemos
:
e seu inverso:
Assim
Agora o valor presente da anuidade é
Passo 5
Somamos o pagamento imediato para obter o valor presente total
:
Esse
representa, no tempo zero, todo o conjunto de pagamentos ao engenheiro (o imediato e a anuidade).
Passo 6
Converter o valor presente
em um montante uniforme anual
(anos
a
). Usamos
onde
Assim
Interpretação: pagar
ao final de cada ano (anos
a
) é financeiramente equivalente, à taxa de
, ao pacote real de pagamentos (
agora +
nos anos
a
).