Encontre D_{u} f em P.
f(x, y)=e^{2 x y} ; P(4,0) ; u=-\frac{3}{5} i+\frac{4}{5} j

Passo 1

O enunciado pede o valor da derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor u. Dados fornecidos:
f(x,y)=e^{2xy},\quad P=(4,0),\quad u=-\frac{3}{5}\,i+\frac{4}{5}\,j.
O que precisamos encontrar é D_{u}f(P).

Passo 2

Definição e ideia útil (do jeito mais prático para a prova): a derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário u é o produto escalar entre o gradiente de f avaliado em P e o vetor u. Em fórmula:
D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u.
Aqui \nabla f(P)=(f_x(P),f_y(P)), onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y. Explicando rapidinho: a derivada parcial f_x é a taxa de variação de f quando só x varia e y fica fixo; o gradiente junta essas taxas nas duas direções coordenadas.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=e^{2xy}. Usamos a regra da cadeia: a derivada de e^{g(x,y)} é e^{g(x,y)} vezes a derivada de g.
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}e^{2xy}=e^{2xy}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(2xy)=e^{2xy}\cdot 2y,
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}e^{2xy}=e^{2xy}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(2xy)=e^{2xy}\cdot 2x.
Aqui cada passo: \frac{\partial}{\partial x}(2xy)=2y porque y é tratado como constante ao derivar em x; de modo análogo para \frac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x.

Passo 4

Avaliaremos as parciais no ponto P=(4,0). Substituindo x=4 e y=0:
f_x(4,0)=e^{2\cdot4\cdot0}\cdot 2\cdot 0 = e^{0}\cdot 0 = 0,
f_y(4,0)=e^{2\cdot4\cdot0}\cdot 2\cdot 4 = e^{0}\cdot 8 = 8.
Logo o gradiente em P é
\nabla f(4,0)=(0,\,8).

Passo 5

Verificamos se o vetor u já é unitário (porque a fórmula exige vetor de comprimento 1). Calculamos a norma de u=(-\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}):
\|u\|=\sqrt{\left(-\tfrac{3}{5}\right)^{2}+\left(\tfrac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\tfrac{9}{25}+\tfrac{16}{25}}=\sqrt{\tfrac{25}{25}}=1.
Portanto u já é unitário — perfeito, não precisamos normalizar.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u. Fazendo o produto escalar:
D_{u}f(4,0)=(0,8)\cdot\left(-\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\right)=0\cdot\left(-\tfrac{3}{5}\right)+8\cdot\left(\tfrac{4}{5}\right)=\tfrac{32}{5}.
Interpretação rápida: ao mover-se a partir de P na direção de u, a função cresce (positivo) à taxa \tfrac{32}{5} por unidade de deslocamento nessa direção.

Resposta

\displaystyle \frac{32}{5}

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