Encontre
em P.
Passo 1
O enunciado pede o valor da derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
. Dados fornecidos:
O que precisamos encontrar é
.
Passo 2
Definição e ideia útil (do jeito mais prático para a prova): a derivada direcional de
em
na direção de um vetor unitário
é o produto escalar entre o gradiente de
avaliado em
e o vetor
. Em fórmula:
Aqui
, onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
. Explicando rapidinho: a derivada parcial
é a taxa de variação de
quando só
varia e
fica fixo; o gradiente junta essas taxas nas duas direções coordenadas.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
vezes a derivada de
.
Aqui cada passo:
porque
é tratado como constante ao derivar em
; de modo análogo para
.
Passo 4
Avaliaremos as parciais no ponto
. Substituindo
e
:
Logo o gradiente em
é
Passo 5
Verificamos se o vetor
já é unitário (porque a fórmula exige vetor de comprimento 1). Calculamos a norma de
:
Portanto
já é unitário — perfeito, não precisamos normalizar.
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula
. Fazendo o produto escalar:
Interpretação rápida: ao mover-se a partir de
na direção de
, a função cresce (positivo) à taxa
por unidade de deslocamento nessa direção.