O modelo bioeconômico de Gordon-Schaefer para pesca:
H(E)=q E\left(1-\frac{E}{E_{\max }}\right)
onde E=\operatorname{esforço}̧ de pesca, q= capturabilidade:
(a) Encontre a elasticidade da captura em relação ao esforço ( \varepsilon=\frac{E}{H} \frac{d H}{d E} )
(b) Determine o esforço que maximiza a sustentabilidade usando derivadas

Passo 1

O enunciado dá a função de captura em função do esforço:
H(E)=q\,E\left(1-\frac{E}{E_{\max}}\right),
onde E é o esforço de pesca, q é a capturabilidade e E_{\max} é o esforço máximo/população de referência. Pede-se:
(a) calcular a elasticidade da captura em relação ao esforço, definida por \varepsilon=\frac{E}{H}\frac{dH}{dE};
(b) determinar, por derivadas, o esforço que maximiza a sustentabilidade (isto é, o valor de E que maximiza H(E)). Vou usar apenas as informações fornecidas.

Passo 2

O que é elasticidade aqui e como vamos calculá‑la. Elasticidade mede a variação percentual de H dada uma variação percentual de E. A fórmula que vamos usar é
\varepsilon=\frac{E}{H}\frac{dH}{dE}.
Explicando: \frac{dH}{dE} é a derivada de H em relação a E (ou seja, a taxa de variação absoluta). Multiplicando por \frac{E}{H} transformamos essa taxa absoluta numa taxa relativa (percentual). Na prova, basta saber essa fórmula e saber derivar polinômios/expressões racionais simples.

Passo 3

Derivando H(E) passo a passo. Primeiro expandimos para facilitar:
H(E)=qE - q\frac{E^{2}}{E_{\max}}.
Agora derivamos termo a termo em relação a E:
\frac{dH}{dE}=q - 2q\frac{E}{E_{\max}}.
Coloquei cada passo: derivei qE que dá q e derivei -q\frac{E^{2}}{E_{\max}} que dá -q\cdot\frac{2E}{E_{\max}}.

Passo 4

Substituindo \frac{dH}{dE} na expressão da elasticidade e simplificando cuidadosamente. Começo substituindo:
\varepsilon=\frac{E}{H}\left(q - 2q\frac{E}{E_{\max}}\right).
Lembre que H=qE\left(1-\frac{E}{E_{\max}}\right). Substituo H e fatoro q quando conveniente:
\varepsilon=\frac{E}{qE\left(1-\frac{E}{E_{\max}}\right)}\cdot q\left(1-2\frac{E}{E_{\max}}\right).
Agora simplifico termos iguais: o q do numerador e denominador cancelam, e o E também:
\varepsilon=\frac{1-2\frac{E}{E_{\max}}}{1-\frac{E}{E_{\max}}}.
Para ficar mais compacto, se eu definir x=\frac{E}{E_{\max}} (fração do esforço máximo), tenho a forma simples
\varepsilon=\frac{1-2x}{1-x}.
Isso é a expressão final da elasticidade em função de E (ou de x).

Passo 5

Interpretação rápida e exemplos numéricos para fixar (útil na prova). Usando a expressão
\varepsilon=\frac{1-2\frac{E}{E_{\max}}}{1-\frac{E}{E_{\max}}},
  • se E\to 0 (esforço muito pequeno), então \varepsilon\to 1. Interpretação: perto de zero, um aumento percentual em E causa quase o mesmo aumento percentual em H (elasticidade ≈ 1).
  • se E=\frac{E_{\max}}{2}, então \varepsilon=0 porque 1-2\frac{E}{E_{\max}}=0. Interpretação: nesse ponto, uma pequena variação percentual em E não muda H (estamos no máximo de H, então derivada = 0).
  • se E\to E_{\max}^{-}, o denominador 1-\frac{E}{E_{\max}}\to 0^{+} e o numerador tende a -1, logo \varepsilon\to -\infty: perto do extremo a captura cai muito rapidamente se aumentarmos esforço (ou seja, a função vai a zero).

Passo 6

Agora parte (b): encontrar E que maximiza H(E) por derivadas. Já temos a derivada:
\frac{dH}{dE}=q\left(1-2\frac{E}{E_{\max}}\right).
Critérios: pontos críticos ocorrem onde \frac{dH}{dE}=0 ou nas fronteiras do domínio. Igualando a zero:
1-2\frac{E}{E_{\max}}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{E}{E_{\max}}=\frac{1}{2}.
Portanto um candidato interior é
E^{*}=\frac{E_{\max}}{2}.

Passo 7

Verificação de que é máximo (teste da segunda derivada e checagem de fronteiras). A segunda derivada é
\frac{d^{2}H}{dE^{2}}=-2\frac{q}{E_{\max}}.
Esse valor é negativo (pois q>0 e E_{\max}>0), então o ponto crítico é um máximo local. Comparando com as fronteiras: H(0)=0 e H(E_{\max})=0. Logo o máximo global interior é realmente em
E^{*}=\frac{E_{\max}}{2}.
Se quiser a captura máxima correspondente (bônus), podemos calcular:
H\!\left(\frac{E_{\max}}{2}\right)=q\cdot\frac{E_{\max}}{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{qE_{\max}}{4}.

Resposta

\displaystyle \varepsilon(E)=\frac{1-2\frac{E}{E_{\max}}}{1-\frac{E}{E_{\max}}}
\displaystyle E^{*}=\frac{E_{\max}}{2}

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