O modelo bioeconômico de Gordon-Schaefer para pesca:
onde
de pesca,
capturabilidade:
(a) Encontre a elasticidade da captura em relação ao esforço (
)
(b) Determine o esforço que maximiza a sustentabilidade usando derivadas
(a) Encontre a elasticidade da captura em relação ao esforço (
(b) Determine o esforço que maximiza a sustentabilidade usando derivadas
Passo 1
O enunciado dá a função de captura em função do esforço:
onde
é o esforço de pesca,
é a capturabilidade e
é o esforço máximo/população de referência. Pede-se:
(a) calcular a elasticidade da captura em relação ao esforço, definida por ;
(b) determinar, por derivadas, o esforço que maximiza a sustentabilidade (isto é, o valor de que maximiza
). Vou usar apenas as informações fornecidas.
(a) calcular a elasticidade da captura em relação ao esforço, definida por
(b) determinar, por derivadas, o esforço que maximiza a sustentabilidade (isto é, o valor de
Passo 2
O que é elasticidade aqui e como vamos calculá‑la. Elasticidade mede a variação percentual de
dada uma variação percentual de
. A fórmula que vamos usar é
Explicando:
é a derivada de
em relação a
(ou seja, a taxa de variação absoluta). Multiplicando por
transformamos essa taxa absoluta numa taxa relativa (percentual). Na prova, basta saber essa fórmula e saber derivar polinômios/expressões racionais simples.
Passo 3
Derivando
passo a passo. Primeiro expandimos para facilitar:
Agora derivamos termo a termo em relação a
:
Coloquei cada passo: derivei
que dá
e derivei
que dá
.
Passo 4
Substituindo
na expressão da elasticidade e simplificando cuidadosamente. Começo substituindo:
Lembre que
. Substituo
e fatoro
quando conveniente:
Agora simplifico termos iguais: o
do numerador e denominador cancelam, e o
também:
Para ficar mais compacto, se eu definir
(fração do esforço máximo), tenho a forma simples
Isso é a expressão final da elasticidade em função de
(ou de
).
Passo 5
Interpretação rápida e exemplos numéricos para fixar (útil na prova). Usando a expressão
- se
(esforço muito pequeno), então . Interpretação: perto de zero, um aumento percentual em causa quase o mesmo aumento percentual em (elasticidade ≈ 1). - se
, então porque . Interpretação: nesse ponto, uma pequena variação percentual em não muda (estamos no máximo de , então derivada = 0). - se
, o denominador e o numerador tende a , logo : perto do extremo a captura cai muito rapidamente se aumentarmos esforço (ou seja, a função vai a zero).
Passo 6
Agora parte (b): encontrar
que maximiza
por derivadas. Já temos a derivada:
Critérios: pontos críticos ocorrem onde
ou nas fronteiras do domínio. Igualando a zero:
Portanto um candidato interior é
Passo 7
Verificação de que é máximo (teste da segunda derivada e checagem de fronteiras). A segunda derivada é
Esse valor é negativo (pois
e
), então o ponto crítico é um máximo local. Comparando com as fronteiras:
e
. Logo o máximo global interior é realmente em
Se quiser a captura máxima correspondente (bônus), podemos calcular: