15-A função de resposta ao impulso para a y^prime prime+b y^prime+c y=g(t) como a função h(t)=J^-1(H(s))), sendo H(s)=Y(s)G(s), a função de transferência, em que Y(s) é a transformada de Laplace da solução para a função de resposta ao impulso com zero condições iniciais e G(s) é a transformada de Laplace de g(t). Um sistema linear é regido por y^prime prime-5 y^prime+6 y=g(t). Encontre a função de transferência e a função de resposta ao impulso.

Passo 1

O enunciado pede a função de transferência H(s)=Y(s)G(s) e a resposta ao impulso h(t)=L^-1H(s) para o sistema linear de segunda ordem com equação diferencial
y'' -5y' +6y = g(t)
sujeito a condições iniciais nulas. Vamos usar a transformada de Laplace e frações parciais.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace com y(0)=y'(0)=0 e usando Ly''=s^2Y(s), Ly'=sY(s) e Ly=Y(s), obtemos
(s^2 -5s +6),Y(s) = G(s)

Passo 3

Isolando a razão Y(s)/G(s), temos
H(s) = Y(s)G(s) = 1s^2 -5s +6
Fatorando o polinômio do denominador:
s^2 -5s +6 = (s-2)(s-3)

Passo 4

Para inverter a transformada, decompondo em frações parciais:
1(s-2)(s-3) = As-2 + Bs-3
Multiplicando por (s-2)(s-3) e avaliando em s=2 e s=3, obtemos
A = -1, B = 1,
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H(s) = 1s-3 - 1s-2

Passo 5

Aplicando a transformada inversa termo a termo:
L^-1l1s-3r = e^3t, L^-1l1s-2r = e^2t,
portanto a resposta ao impulso causal é
h(t) = l(e^3t - e^2tr)u(t)

Resposta

H(s) = 1s^2 -5s +6 = 1(s-2)(s-3),
h(t) = l(e^3t - e^2tr)u(t)

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