Determine a série de Fourier de
f(x)=l1, se 0 <= x <= pi 0, se -pi <= x<0

Passo 1

O enunciado dá a função periódica de período 2pi
f(x)= 1,&0<= x<=pi, 0,&-pi<= x<0,
e pede sua série de Fourier na forma
f(x)sim a02+sumn=1^inftyl(ancos(nx)+bnsin(nx)r)
Vamos usar as fórmulas
a0=1piintegral-pi^pif(x),dx, an=1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx, bn=1piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx

Passo 2

Calcular a0. Como f(x)=0 em [-,pi,0) e f(x)=1 em [0,pi], temos
a0=1piintegral-pi^pif(x),dx =1piintegral0^pi1,dx =pipi=1

Passo 3

Calcular an para n>=1:
an=1piintegral0^picos(nx),dx =1pil[sin(nx)nr]0^pi =1picdotsin(npi)-0n =0

Passo 4

Calcular bn para n>=1:
bn=1piintegral0^pisin(nx),dx =1pil[-cos(nx)nr]0^pi =1pi,1-(-1)^nn
Note que se n é par, 1-(-1)^n=0; se n é ímpar, 1-(-1)^n=2. Logo
bn= 0,&n par,[6pt] 2pi n,&n ímpar í]

Passo 5

Substituindo na série geral,
Escrevendo com , fica

Resposta

f(x)=12+2pisumk=1^inftysinl((2k-1)xr)2k-1

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