-15 A função trabalho do tungstênio é 4,50 \mathrm{eV}. Calcule a velocidade dos elétrons mais rápidos ejetados da superfície de uma placa de tungstênio quando fótons com uma energia de 5,80 \mathrm{eV} incidem na placa.
-16 O leitor precisa escolher um elemento para uma célula fotelétrica que funcione com luz visível. Quais dos seguintes elementos são apropriados (a função trabalho aparece entre parênteses): tântalo ( 4,2 \mathrm{eV} ); tungstênio ( 4,5 \mathrm{eV} ); alumínio ( 4,2 \mathrm{eV} ); bário ( 2,5 \mathrm{eV} ); lítio ( 2,3 \mathrm{eV} )?

Passo 1

Problema -15: Uma placa de tungstênio tem função trabalho \varphi = 4,50\\ \mathrm{eV}. Fótons com energia E_{\text{fóton}} = 5,80\\ \mathrm{eV}ó incidem na placa. Pede-se a velocidade dos elétrons mais rápidos ejetados da superfície.
Problema -16: Um leitor precisa escolher um elemento para uma célula fotoelétrica que funcione com luz visível. São dadas as funções trabalho (entre parênteses): tântalo \phi_{\text{Ta}} = 4,2\\ \mathrm{eV}; tungstênio \phi_{\text{W}} = 4,5\\ \mathrm{eV}; alumínio \phi_{\text{Al}} = 4,2\\ \mathrm{eV}; bário \phi_{\text{Ba}} = 2,5\\ \mathrm{eV}; lítio \phi_{\text{Li}} = 2,3\\ \mathrm{eV}. Pede-se identificar quais desses elementos são apropriados para operar com luz visível.
Informações numéricas úteis que usarei nas contas (valores padrão):
\displaystyle m_e = 9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg} (massa do elétron),
\displaystyle 1\\ \mathrm{eV} = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 2

Entendimento do que é necessário calcular no problema -15 (sem ainda resolver): quando um fóton atinge a superfície e ejeta um elétron, a energia do fóton é usada para vencer a função trabalho da superfície e o restante vira energia cinética máxima do elétron ejetado. Portanto precisamos:
  • calcular a energia cinética máxima K_{\max} em \mathrm{eV} e converter para \mathrm{J};
  • usar a relação entre energia cinética e velocidade para encontrar v_{\max}: K_{\max}=\tfrac{1}{2}m_ev_{\max}^2.

Passo 3

A fórmula de conservação de energia para o processo (que vamos aplicar) é
E_{\text{fóton}} = \varphi + K_{\max}.ó
Aqui:
  • E_{\text{fóton}}ó é a energia do fóton incidente (em \mathrm{eV});
  • \varphi é a função trabalho do material (em \mathrm{eV});
  • K_{\max} é a energia cinética máxima dos elétrons ejetados (em \mathrm{eV}).
    Essa fórmula é direta: o fóton dá energia \,E_{\text{fóton}}\,ó, parte gasta para libertar o elétron ( \varphi) e o resto vira energia cinética ( K_{\max}).

Passo 4

Aplicando a fórmula para o tungstênio com os valores do enunciado:
K_{\max} = E_{\text{fóton}} - \varphi = 5,80\\ \mathrm{eV} - 4,50\\ \mathrm{eV} = 1,30\\ \mathrm{eV}.ó
Então a energia cinética máxima dos elétrons é \,1,30\\ \mathrm{eV}.

Passo 5

Converter K_{\max} de \mathrm{eV} para \mathrm{J} usando 1\\ \mathrm{eV} = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}:
K_{\max} = 1,30\\ \mathrm{eV}\times 1,602176634\times10^{-19}\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{eV}}.
Faço a multiplicação:
K_{\max} = 1,30\times 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J} = 2,082829624\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Arredondando sensatamente (duas ou três casas relevantes) tomo
K_{\max} \approx 2,08\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Relacionar energia cinética com velocidade: para um elétron não relativístico (velocidade muito menor que a da luz), usamos
K_{\max}=\tfrac{1}{2}m_ev_{\max}^2,
onde:
  • m_e é a massa do elétron ( 9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg});
  • v_{\max} é a velocidade máxima que queremos encontrar.
Isolando v_{\max}:
v_{\max} = \sqrt{\dfrac{2K_{\max}}{m_e}}.

Passo 7

Substituo os valores numéricos em SI na expressão de v_{\max}. Já tenho K_{\max}\approx 2,082829624\times10^{-19}\\ \mathrm{J} e m_e = 9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}. Então
v_{\max} = \sqrt{\dfrac{2\times 2,082829624\times10^{-19}\\ \mathrm{J}}{9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}}}.

Passo 8

Faço as contas do numerador e da divisão passo a passo:
Numerador 2K_{\max} = 2\times 2,082829624\times10^{-19} = 4,165659248\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Agora a razão:
\dfrac{2K_{\max}}{m_e} = \dfrac{4,165659248\times10^{-19}}{9,10938356\times10^{-31}} \approx 4,5738\times10^{11}\\ \mathrm{m}^2\!/\mathrm{s}^2.

Passo 9

Tiro a raiz quadrada para obter v_{\max}:
v_{\max} = \sqrt{4,5738\times10^{11}}\\ \mathrm{m/s} \approx 6,77\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}.
Portanto a velocidade dos elétrons mais rápidos ejetados é aproximadamente \,6,77\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 10

Agora resolvendo o problema -16: preciso decidir quais elementos funcionam com luz visível. Primeiro lembro (e uso) a faixa típica de energia dos fótons da luz visível: comprimentos de onda de cerca de 400\\ \mathrm{nm} (violeta) até 700\\ \mathrm{nm} (vermelho). Converto essas extremidades em energia:
energia em \mathrm{eV} pode ser obtida por E(\mathrm{eV})\approx \dfrac{1240}{\lambda(\mathrm{nm})} (fórmula prática), então:
  • para \lambda=400\\ \mathrm{nm}: E \approx \dfrac{1240}{400} = 3,10\\ \mathrm{eV};
  • para \lambda=700\\ \mathrm{nm}: E \approx \dfrac{1240}{700} = 1,77\\ \mathrm{eV}.
    Logo fótons visíveis têm energia aproximada entre \,1,77\\ \mathrm{eV} e \,3,10\\ \mathrm{eV}.

Passo 11

Critério prático: para que um material libere elétrons quando iluminado por luz visível, deve existir alguma frequência (ou comprimento de onda) visível cujo fóton tenha energia \ge função trabalho \varphi do material. O máximo de energia disponível na faixa visível é \,3,10\\ \mathrm{eV} (luz violeta, \lambda\approx400\\ \mathrm{nm}). Assim, um material é apropriado se \varphi \le 3,10\\ \mathrm{eV}. Se \varphi > 3,10\\ \mathrm{eV}, nenhum fóton visível tem energia suficiente para arrancar elétrons.

Passo 12

Comparo as funções trabalho dadas com 3,10\\ \mathrm{eV}:
  • tântalo: \phi_{\text{Ta}} = 4,2\\ \mathrm{eV} > 3,10\\ \mathrm{eV} → não apropriado;
  • tungstênio: \phi_{\text{W}} = 4,5\\ \mathrm{eV} > 3,10\\ \mathrm{eV} → não apropriado;
  • alumínio: \phi_{\text{Al}} = 4,2\\ \mathrm{eV} > 3,10\\ \mathrm{eV} → não apropriado;
  • bário: \phi_{\text{Ba}} = 2,5\\ \mathrm{eV} \le 3,10\\ \mathrm{eV} → apropriado;
  • lítio: \phi_{\text{Li}} = 2,3\\ \mathrm{eV} \le 3,10\\ \mathrm{eV} → apropriado.

Passo 13

Comentário prático e incentivo: portanto, apenas os metais com função trabalho menor ou igual à maior energia disponível na luz visível (violeta) serão ejetores de fotoelétrons com luz visível. Bário e lítio entram nessa categoria; tântalo, tungstênio e alumínio têm função trabalho muito alta para serem excitados por fótons visíveis comuns. Vai dar certo estudar com exercícios assim — estamos chegando!

Resposta

v_{\max} \approx 6,77\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}.
Elementos apropriados: bário e lítio.

Exercícios relacionados