Coaxial conducting cylinders are located at \rho=0.5 \mathrm{~cm} and \rho=1.2 \mathrm{~cm}. The region between r<a, in the cylinders is filled with a homogeneous perfect dielectric. If the inner cylinder is at 100 \mathrm{~V}_{\text {and }} is held and the outer at 0 V , find:
a) the location of the 20 V equipotential surface
b) E_{\rho \text { max }}
c) \epsilon_{r} if the charge per meter length on the inner cylinder is 20 \mathrm{nC} / \mathrm{m}

Passo 1

O enunciado pede três coisas e nos dá os seguintes dados:
  • Pedidos:
    a) achar a superfície equipotencial onde V=20\\ \mathrm{V} entre os cilindros coaxiais;
    b) achar E_{\rho\,\text{max}} (o módulo máximo do campo radial);
    c) achar \epsilon_{r} sabendo que a carga por unidade de comprimento no cilindro interno é 20\\ \mathrm{nC/m}.
  • Dados (convertidos para metros e notação usada): a = 0{,}5\\ \mathrm{cm} = 0{,}005\\ \mathrm{m},\qquad b = 1{,}2\\ \mathrm{cm} = 0{,}012\\ \mathrm{m},
V(a)=100\\ \mathrm{V},\qquad V(b)=0\\ \mathrm{V},
\lambda = 20\\ \mathrm{nC/m} = 20\times 10^{-9}\\ \mathrm{C/m}.
Nada mais será assumido.

Passo 2

Escolha do método e derivação básica (explicação didática).
  • Por simetria cilíndrica o campo elétrico entre os cilindros é radial e depende só de \rho. Para um cilindro coaxial, aplicamos a Lei de Gauss (forma integral). Para um cilindro gaussiano de raio \rho e comprimento L temos: \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon},onde \epsilon é a permissividade do meio ( \epsilon=\epsilon_r\epsilon_0) e Q_{\text{enc}}=\lambda L.
  • A superfície lateral do cilindro gaussiano tem área 2\pi\rho L e o campo é constante nessa superfície, logo E(\rho)\,2\pi\rho L=\frac{\lambda L}{\epsilon}\quad\Rightarrow\quad E(\rho)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon\,\rho}.Aqui \lambda é a carga por comprimento (C/m), \epsilon tem unidades F/m, e E resulta em V/m como esperado.
  • A potencial (tomando V(b)=0 como referência) é obtida por integração: V(\rho)-V(b)=-\int_{b}^{\rho}E(r)\,dr = -\int_{b}^{\rho}\frac{\lambda}{2\pi\epsilon\,r}\,dr
\Rightarrow\quad V(\rho)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon}\ln\!\left(\frac{b}{\rho}\right).
  • Uma relação útil (diferença entre as superfícies) é V(a)-V(b)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).Esta fórmula nos permite eliminar \lambda/(2\pi\epsilon) quando tivermos apenas tensões conhecidas.

Passo 3

Preparar expressões úteis que vamos usar:
  • Definimos \Delta V = V(a)-V(b)=100\\ \mathrm{V}. Então \frac{\lambda}{2\pi\epsilon}=\frac{\Delta V}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}=\frac{100}{\ln\!\left(\dfrac{0{,}012}{0{,}005}\right)}.Vou calcular \ln(b/a): \ln\!\left(\frac{b}{a}\right)=\ln\!\left(\frac{0{,}012}{0{,}005}\right)=\ln(2{,}4)\approx 0{,}875468737.Portanto \frac{\lambda}{2\pi\epsilon}=\frac{100}{0{,}875468737}\approx 114{,}2169\\ \mathrm{V}.
  • Também podemos escrever o campo em função de \Delta V sem conhecer \epsilon: E(\rho)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon}\frac{1}{\rho}=\frac{\Delta V}{\ln(b/a)}\cdot\frac{1}{\rho}.

Passo 4

Resolução do item (a) — localização da superfície equipotencial V=20\\ \mathrm{V}.
  • Usamos a expressão para V(\rho) com V(b)=0: V(\rho)=\Delta V\cdot\frac{\ln\!\left(\dfrac{b}{\rho}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.
  • Impor V(\rho)=20\\ \mathrm{V} e \Delta V=100\\ \mathrm{V}: 20=100\cdot\frac{\ln\!\left(\dfrac{b}{\rho}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}\quad\Rightarrow\quad \ln\!\left(\frac{b}{\rho}\right)=0{,}2\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).
  • Da última igualdade obtém-se \rho = b\exp\!\left(-0{,}2\ln\!\left(\frac{b}{a}\right)\right)=b\left(\frac{a}{b}\right)^{0{,}2}.
  • Substituindo números: \rho = 0{,}012\cdot\exp\!\big(-0{,}2\cdot 0{,}875468737\big) =0{,}012\cdot e^{-0{,}175093747}\approx 0{,}010074\\ \mathrm{m}.
  • Em centímetros: \rho \approx 1{,}0074\\ \mathrm{cm}.(Está entre 0{,}5\\ \mathrm{cm} e 1{,}2\\ \mathrm{cm}, mais próximo do cilindro externo, como esperado para V=20\\ \mathrm{V}.)

Passo 5

Resolução do item (b) — E_{\rho\,\text{max}}.
  • O campo radial E(\rho) varia como 1/\rho, portanto é máximo na menor \rho acessível na região (ou seja, na superfície do cilindro interno \rho=a).
  • Usando a expressão obtida sem precisar de \epsilon: E_{\text{max}}=E(a)=\frac{\Delta V}{\ln(b/a)}\cdot\frac{1}{a}.
  • Substituindo valores: E_{\text{max}}=\frac{100}{0{,}875468737}\cdot\frac{1}{0{,}005} =\frac{114{,}2169}{0{,}005}\approx 22847{,}58\\ \mathrm{V/m}.
  • Em notação conveniente: E_{\text{max}}\approx 2{,}285\times 10^{4}\\ \mathrm{V/m}.

Passo 6

Resolução do item (c) — encontrar \epsilon_r dado \lambda.
  • Partimos da relação \Delta V=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).Isolando \epsilon: \epsilon=\frac{\lambda}{2\pi\Delta V}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).
  • Substituindo \lambda=20\times 10^{-9}\\ \mathrm{C/m}, \Delta V=100\\ \mathrm{V} e \ln(b/a)\approx 0{,}875468737: \epsilon=\frac{20\times 10^{-9}\times 0{,}875468737}{2\pi\times 100} =\frac{1{,}750937474\times 10^{-8}}{628{,}3185307}\approx 2{,}7872\times 10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.
  • Finalmente, \epsilon_{r}=\dfrac{\epsilon}{\epsilon_{0}} com \epsilon_{0}=8{,}854187817\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m}: \epsilon_{r}=\frac{2{,}7872\times 10^{-11}}{8{,}854187817\times 10^{-12}}\approx 3{,}1478\approx 3{,}15.

Resposta

(a) \rho \approx 0{,}010074\\ \mathrm{m}=1{,}0074\\ \mathrm{cm}.
(b) E_{\rho\,\text{max}}\approx 2{,}2848\times 10^{4}\\ \mathrm{V/m}.
(c) \epsilon_{r}\approx 3{,}15.

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