Coaxial conducting cylinders are located at
and
. The region between
, in the cylinders is filled with a homogeneous perfect dielectric. If the inner cylinder is at
is held and the outer at 0 V , find:
a) the location of the 20 V equipotential surface
b)
c)
if the charge per meter length on the inner cylinder is
a) the location of the 20 V equipotential surface
b)
c)
Passo 1
O enunciado pede três coisas e nos dá os seguintes dados:
- Pedidos:
a) achar a superfície equipotencial ondeentre os cilindros coaxiais;
b) achar(o módulo máximo do campo radial);
c) acharsabendo que a carga por unidade de comprimento no cilindro interno é . - Dados (convertidos para metros e notação usada):
Nada mais será assumido.
Passo 2
Escolha do método e derivação básica (explicação didática).
- Por simetria cilíndrica o campo elétrico entre os cilindros é radial e depende só de
. Para um cilindro coaxial, aplicamos a Lei de Gauss (forma integral). Para um cilindro gaussiano de raio e comprimento temos: onde é a permissividade do meio ( ) e . - A superfície lateral do cilindro gaussiano tem área
e o campo é constante nessa superfície, logo Aqui é a carga por comprimento (C/m), tem unidades F/m, e resulta em V/m como esperado. - A potencial (tomando
como referência) é obtida por integração:
- Uma relação útil (diferença entre as superfícies) é
Esta fórmula nos permite eliminar quando tivermos apenas tensões conhecidas.
Passo 3
Preparar expressões úteis que vamos usar:
- Definimos
. Então Vou calcular : Portanto - Também podemos escrever o campo em função de
sem conhecer :
Passo 4
Resolução do item (a) — localização da superfície equipotencial
.
- Usamos a expressão para
com : - Impor
e : - Da última igualdade obtém-se
- Substituindo números:
- Em centímetros:
(Está entre e , mais próximo do cilindro externo, como esperado para .)
Passo 5
Resolução do item (b) —
.
- O campo radial
varia como , portanto é máximo na menor acessível na região (ou seja, na superfície do cilindro interno ). - Usando a expressão obtida sem precisar de
: - Substituindo valores:
- Em notação conveniente:
Passo 6
Resolução do item (c) — encontrar
dado
.
- Partimos da relação
Isolando : - Substituindo
, e : - Finalmente,
com :
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)