A parallel-plate capacitor is made using two circular plates of radius a, with the bottom plate on the x y plane, centered at the origin. The top plate is located at z=d, with its center on the z axis. Potential V_{0} is on the top plate; the bottom plate is grounded. Dielectric having radially-dependent permittivity fills the region between plates. The permittivity is given by \epsilon(\rho)=\epsilon_{0}(1+\rho / a). Find:
a) V(z)
b) \mathbf{E}
c) Q
d) C

Passo 1

O enunciado dá um capacitor de placas paralelas circulares de raio a, com a placa inferior no plano z=0 (centrada na origem) e a placa superior em z=d (eixo z). A placa superior está ao potencial V_{0} e a inferior está aterrada ( 0). O espaço entre as placas é preenchido por um dielétrico cuja permissividade varia radialmente segundo \epsilon(\rho)=\epsilon_{0}\bigl(1+\rho/a\bigr), onde \rho é a coordenada radial cilíndrica (distância ao eixo). Pedidos:
(a) V(z) — potencial no interior entre as placas;
(b) \mathbf{E} — campo elétrico no interior;
(c) Q — carga livre total numa das placas (por exemplo, na placa superior);
(d) C — capacitância do conjunto.
Informações relevantes do enunciado:
  • Geometria: disco de raio a, distância entre placas d.
  • Condições de contorno: V(\rho,z=0)=0 e V(\rho,z=d)=V_{0}, constantes sobre cada placa.
  • Dielétrico com \epsilon(\rho)=\epsilon_{0}\bigl(1+\rho/a\bigr) preenchendo \,0\le z\le d e 0\le\rho\le a.

Passo 2

Equação básica que governa o potencial no dielétrico sem cargas livres volumétricas é a forma geral
\nabla\cdot\bigl(\epsilon(\rho)\,\nabla V(\rho,z)\bigr)=0
Aqui \epsilon(\rho) depende só de \rho. Vamos explicar o que isso significa: \nabla é o operador gradiente; \nabla\cdot é divergência; \epsilon(\rho) é a permissividade local; e V(\rho,z) é o potencial elétrico no ponto de coordenadas (\rho,\varphi,z). A equação diz que o fluxo elétrico \mathbf{D}=\epsilon\nabla V tem divergência zero no volume (não há carga livre volumétrica).
Como as condições de contorno nas duas faces são constantes em \rho (cada placa é equipotencial e o valor não depende de \rho), procuramos uma solução que também não dependa de \rho. Vamos testar a hipótese ansatz simples
V(\rho,z)=V(z),
isto é, sem dependência em \rho. Substituindo na equação, como \epsilon(\rho) não depende de z, temos
\nabla\cdot\bigl(\epsilon(\rho)\,\nabla V(z)\bigr)=\nabla\cdot\bigl(\epsilon(\rho)\,\hat{\mathbf{z}}\,\frac{dV}{dz}\bigr)=\epsilon(\rho)\,\frac{d^{2}V}{dz^{2}}=0.
Explicando: ao calcular a divergência só sobra a derivada \partial/\partial z de \epsilon(\rho)\,\partial V/\partial z, mas \epsilon não depende de z, então é \epsilon(\rho)\,\partial^{2}V/\partial z^{2}. Dessa igualdade resulta que \partial^{2}V/\partial z^{2}=0. Isso mostra que uma solução sem dependência radial existe e é linear em z. Como as condições de contorno não impõem variação radial, essa solução é fisicamente a correta (a solução do problema de contorno é única, portanto essa é a solução).

Passo 3

Resolvendo a equação ordinária em z:
\frac{d^{2}V}{dz^{2}}=0
A solução geral é afim:
V(z)=A z+B.
Aplicando as condições de contorno:
V(0)=0\Rightarrow B=0,
V(d)=V_{0}\Rightarrow A=\frac{V_{0}}{d}.
Portanto
V(\rho,z)=\frac{V_{0}}{d}\,z.
Observação: aqui deixei explícito que V é independente de \rho e \varphi; a dependência é apenas linear em z.

Passo 4

O campo elétrico é \mathbf{E}=-\nabla V. Como V depende só de z, o gradiente é \nabla V=(dV/dz)\,\hat{\mathbf{z}}. Então
\mathbf{E}(\rho,z)=-\frac{dV}{dz}\,\hat{\mathbf{z}}=-\frac{V_{0}}{d}\,\hat{\mathbf{z}}.
Isto significa que \mathbf{E} é uniforme entre as placas, apontando na direção -\hat{\mathbf{z}} (para baixo) com magnitude \bigl|E\bigr|=V_{0}/d.

Passo 5

O vetor deslocamento dielétrico é \mathbf{D}(\rho,z)=\epsilon(\rho)\,\mathbf{E}(\rho,z). Substituindo \epsilon(\rho) e \mathbf{E},
\mathbf{D}(\rho,z)=\epsilon_{0}\Bigl(1+\frac{\rho}{a}\Bigr)\Bigl(-\frac{V_{0}}{d}\Bigr)\hat{\mathbf{z}}=-\epsilon_{0}\frac{V_{0}}{d}\Bigl(1+\frac{\rho}{a}\Bigr)\hat{\mathbf{z}}.

Passo 6

Verificação de ausência de carga volumétrica livre: a divergência de \mathbf{D} é
\nabla\cdot\mathbf{D}=\frac{\partial D_{z}}{\partial z}=0,
porque D_{z} não depende de z. Logo não há carga livre volumétrica entre as placas, conforme esperado.

Passo 7

Agora calculamos a carga livre total Q na placa superior ( z=d). A densidade superficial de carga livre na superfície do condutor em contato com o dielétrico é dada pela componente normal de \mathbf{D} apontando para fora do condutor. Uma maneira prática de obter o módulo da carga total é integrar |D_{z}| sobre a área do disco (já que D_{z} é uniforme em z e contínuo até a superfície):
Tomando o sinal corretamente, a carga livre total no topo (valor absoluto) é
Q=\int_{\text{disco}} \bigl(-D_{z}(\rho)\bigr)\,dA,
pois D_{z} é negativo (lembre \mathbf{E} aponta para baixo). Usando dA=2\pi\rho\,d\rho e substituindo D_{z},
Q=\int_{0}^{a}\left[-\Bigl(-\epsilon_{0}\frac{V_{0}}{d}\Bigl(1+\frac{\rho}{a}\Bigr)\Bigr)\right]2\pi\rho\,d\rho =\epsilon_{0}\frac{V_{0}}{d}2\pi\int_{0}^{a}\Bigl(1+\frac{\rho}{a}\Bigr)\rho\,d\rho.
Calcule a integral passo a passo:
\int_{0}^{a}\Bigl(1+\frac{\rho}{a}\Bigr)\rho\,d\rho=\int_{0}^{a}\bigl(\rho+\frac{\rho^{2}}{a}\bigr)\,d\rho =\left[\frac{\rho^{2}}{2}+\frac{\rho^{3}}{3a}\right]_{0}^{a} =\frac{a^{2}}{2}+\frac{a^{2}}{3}=\frac{5}{6}a^{2}.
Substituindo de volta,
Q=\epsilon_{0}\frac{V_{0}}{d}2\pi\cdot\frac{5}{6}a^{2}=\frac{5\pi}{3}\epsilon_{0}\frac{a^{2}}{d}\,V_{0}.

Passo 8

A capacitância é definida por C=Q/V_{0}. Assim
C=\frac{Q}{V_{0}}=\frac{5\pi}{3}\epsilon_{0}\frac{a^{2}}{d}.
Comentário rápido: para comparação, a capacitância de um capacitor de placas com vazio uniforme seria \epsilon_{0}\pi a^{2}/d; aqui a variação radial da permissividade aumentou o valor efetivo da capacitância por um fator 5/3.

Resposta

(a) \displaystyle V(\rho,z)=\frac{V_{0}}{d}\,z
(b) \displaystyle \mathbf{E}(\rho,z)=-\frac{V_{0}}{d}\,\hat{\mathbf{z}}
(c) \displaystyle Q=\frac{5\pi}{3}\,\epsilon_{0}\,\frac{a^{2}}{d}\,V_{0}
(d) \displaystyle C=\frac{5\pi}{3}\,\epsilon_{0}\,\frac{a^{2}}{d}

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