Determine as forças axiais nos membros C E, D E e D F, e se os membros estão sob tração ou compressão. [Resposta: F_{C E}=7,20 \mathrm{kN}(\mathrm{T}) ; F_{D E}=1,047 \left.\mathrm{kN}(\mathrm{C}) ; F_{D F}=6,39 \mathrm{kN}(\mathrm{C})\right]]
Passo 1
O enunciado dá uma treliça com cinco nós superiores e cinco nós inferiores, quatro vãos iguais de 2,4\\ \mathrm{m} cada (comprimento total 9,6\\ \mathrm{m}). Há cargas verticais nos nós superiores, de esquerda para direita: 1\\ \mathrm{kN},\;2\\ \mathrm{kN},\;2\\ \mathrm{kN},\;2\\ \mathrm{kN},\;1\\ \mathrm{kN}. Os apoios são: suporte engastado/pino em A (esquerda) e rolete em I (direita). As alturas dos nós superiores variam linearmente de 0,46\\ \mathrm{m} (nó superior esquerdo) até 2,62\\ \mathrm{m} (nó superior direito). O objetivo é determinar as forças axiais nos membros CE,\;DE e DF e decidir se estão em tração (T) ou compressão (C).
Informações relevantes (extraídas da figura e inferidas):
Momentos em relação a A para achar I_y (tomando sentido horário negativo, mas usamos a equação escalar):
posições horizontais dos carregamentos: 0,\;2{,}4,\;4{,}8,\;7{,}2,\;9{,}6\\ \mathrm{m}.
Escolhemos o método da seção: cortamos a treliça entre os painéis 2 e 3 (ou seja, entre os nós inferiores C e E e entre os nós superiores D e F), de modo que o corte intercepta exatamente os membros CE,\;DE,\;DF. Analisamos a porção à esquerda do corte (contendo os apoios em A e as cargas em B e D); nessa parte aparecem as forças internas desconhecidas nos membros cortados aplicadas nos nós C e D. Esse corte foi escolhido porque permite escrever equilíbrio com um número reduzido de incógnitas e eliminar incógnitas por escolhas de pontos de momento convenientes.
Passo 4
Determinar F_{CE} tomando momentos em relação ao nó superior D. Observação geométrica: o nó D tem altura
e a linha do membro CE (corda inferior) está em y=0; portanto a distância perpendicular de D até a linha de ação de CE é 1{,}00\\ \mathrm{m}.
No corpo esquerdo, as únicas forças que geram momento em relação a D são A_y (em x=0), a carga em B (1 kN em x=0) e a força axial em CE (aplicada no nó C, mas com linha de ação na corda inferior). Somando momentos em torno de D (positivos no sentido anti-horário):
Interpretação do sinal: obtivemos F_{CE}>0 tomando F_{CE} como a magnitude que, no corpo esquerdo, aparece como força horizontal para a esquerda — ou seja, o membro puxa o corpo esquerdo para a esquerda, característica de tração no membro. Conclusão: F_{CE}=7{,}20\\ \mathrm{kN} (Tração).
Passo 5
Agora precisamos de F_{DE} e F_{DF}. Vamos escrever as equações de equilíbrio da porção esquerda do corte: \sum F_x=0 e \sum F_y=0, mais uma equação de momento conveniente (escolhemos momento em A para eliminar a reação horizontal em A). Para isso precisamos das componentes dos membros DF e DE.
Convenção de sinais: assumimos magnitudes positivas correspondendo a membros em tração (ou seja, no nó D a força de um membro em tração aponta ao longo do membro em direção ao outro nó). A força já conhecida F_{CE}=7{,}20\\ \mathrm{kN} atua no corpo esquerdo para a esquerda (componente horizontal -7{,}20\\ \mathrm{kN}, componente vertical 0).
Agora escrevemos \sum F_y =0 para a porção esquerda (soma das forças verticais):
Escrevemos a equação do momento em relação a A (para eliminar a reação horizontal A_x). Tomando \sum M_A =0 (positivo anti-horário). As contribuições relevantes (além dos momentos das cargas conhecidas) são os momentos das componentes de F_{DF} e F_{DE} aplicadas no ponto D(2{,}4,\;1{,}00). Usando a fórmula do momento de um vetor forçado por suas componentes:
O único momento devido às cargas externas à esquerda é da carga de 2{,}0\\ \mathrm{kN} em D (a carga em B tem x=0 e gera momento zero em relação a A). A carga em D gera momento -2{,}0\cdot 2{,}4 = -4{,}8\\ \mathrm{kN\cdot m} (sentido horário). Assim: