1.15 i Trếs vetores que partem da origem são dados como \mathbf{r}_{1}=(7,3,-2), \mathbf{r}_{2}=(-2, 7,-3) e \mathbf{r}_{3}=(0,2,3). Encontre: (a) um vetor unitário perpendicular a ambos os vetores \mathbf{r}_{1} e \mathbf{r}_{2};(b) um vetor unitário perpendicular aos vetores \mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2} e \mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{3}; (c) a área do triângulo definido por \mathbf{r}_{1} e \mathbf{r}_{2}; (d) a área do triângulo definido pelas extremidades de \mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2} e \mathbf{r}_{3}.

Passo 1

Temos os vetores \mathbf{r}_{1}=(7,3,-2), \mathbf{r}_{2}=(-2,7,-3) e \mathbf{r}_{3}=(0,2,3).
(a) e (b) pedem vetores unitários perpendiculares a pares de vetores, o que fazemos com produto vetorial e normalização.
(c) e (d) pedem áreas de triângulos, que vêm de metade da norma do produto vetorial dos lados.

Passo 2

Para (a) calculamos \mathbf{r}_{1}\times\mathbf{r}_{2} e depois normalizamos:
\mathbf{r}_{1}\times\mathbf{r}_{2} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 7&3&-2\\\\ -2&7&-3 \end{vmatrix} =(5,25,55).
A norma é
\|\mathbf{r}_{1}\times\mathbf{r}_{2}\| =\sqrt{5^{2}+25^{2}+55^{2}} =\sqrt{25+625+3025} =35\sqrt{3}.
Logo um vetor unitário perpendicular a \mathbf{r}_{1} e \mathbf{r}_{2} é
\frac{\mathbf{r}_{1}\times\mathbf{r}_{2}}{\|\mathbf{r}_{1}\times\mathbf{r}_{2}\|} =\frac{1}{35\sqrt{3}}(5,25,55) =\frac{1}{7\sqrt{3}}(1,5,11).

Passo 3

Para (b) definimos \mathbf{a}=\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}=(9,-4,1) e \mathbf{b}=\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{3}=(-2,5,-6).
O produto vetorial é
\mathbf{a}\times\mathbf{b} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 9&-4&1\\\\ -2&5&-6 \end{vmatrix} =(19,52,37).
A norma é
\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\| =\sqrt{19^{2}+52^{2}+37^{2}} =\sqrt{4434}.
Assim o vetor unitário desejado é
\frac{1}{\sqrt{4434}}\,(19,52,37).

Passo 4

Para (c) a área do triângulo formado por \mathbf{r}_{1} e \mathbf{r}_{2} é
\frac{1}{2}\,\|\mathbf{r}_{1}\times\mathbf{r}_{2}\| =\frac{1}{2}\,35\sqrt{3} =\frac{35\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Para (d) usamos os vetores de um mesmo vértice, por exemplo \mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{3}=(7,1,-5) e \mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{3}=(-2,5,-6).
O produto vetorial é exatamente (7,1,-5)\times(-2,5,-6)=(19,52,37)
com norma \sqrt{4434}, de modo que a área do triângulo é
\frac{1}{2}\,\sqrt{4434}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{1}{7\sqrt{3}}(1,5,11)
(b) \displaystyle \frac{1}{\sqrt{4434}}\,(19,52,37)
(c) \displaystyle \frac{35\sqrt{3}}{2}
(d) \displaystyle \frac{\sqrt{4434}}{2}

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