1.15 i Trếs vetores que partem da origem são dados como \mathbf{r}_{1}=(7,3,-2), \mathbf{r}_{2}=(-2, 7,-3) e \mathbf{r}_{3}=(0,2,3). Encontre: (a) um vetor unitário perpendicular a ambos os vetores \mathbf{r}_{1} e \mathbf{r}_{2};(b) um vetor unitário perpendicular aos vetores \mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2} e \mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{3}; (c) a área do triângulo definido por \mathbf{r}_{1} e \mathbf{r}_{2}; (d) a área do triângulo definido pelas extremidades de \mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2} e \mathbf{r}_{3}.
Passo 1
Temos os vetores \mathbf{r}_{1}=(7,3,-2), \mathbf{r}_{2}=(-2,7,-3) e \mathbf{r}_{3}=(0,2,3).
(a) e (b) pedem vetores unitários perpendiculares a pares de vetores, o que fazemos com produto vetorial e normalização.
(c) e (d) pedem áreas de triângulos, que vêm de metade da norma do produto vetorial dos lados.
Passo 2
Para (a) calculamos \mathbf{r}_{1}\times\mathbf{r}_{2} e depois normalizamos:
Para (d) usamos os vetores de um mesmo vértice, por exemplo \mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{3}=(7,1,-5) e \mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{3}=(-2,5,-6).
O produto vetorial é exatamente (7,1,-5)\times(-2,5,-6)=(19,52,37)
com norma \sqrt{4434}, de modo que a área do triângulo é