1.17 O ponto A(-4,2,5) e os dois vetores \mathbf{R}_{A M}=(20,18,-10) e \mathbf{R}_{A N}=(-10, 8,15) definem um triângulo. Encontre: (a) um vetor unitário perpendicular
Eletromagnetismo
ao triângulo; (b) um vetor unitário no plano do triângulo e perpendicular a \mathbf{R}_{A N}; (c) um vetor unitário no plano do triângulo que divide o ângulo interior de A em duas partes iguais.

Passo 1

O enunciado dá o ponto A(-4,2,5) e os vetores \mathbf{R}_{AM}=(20,18,-10) e \mathbf{R}_{AN}=(-10,8,15),
que formam os lados do triângulo com vértice em A.
Precisamos de três vetores unitários:
a) normal ao plano do triângulo,
b) no próprio plano e perpendicular a \mathbf{R}_{AN},
c) no plano que bisseta o ângulo interior em A.
Para isso usaremos produto vetorial e soma de vetores unitários.

Passo 2

(a) O vetor normal ao plano é dado por
\mathbf{n} \;=\;\mathbf{R}_{AM}\times\mathbf{R}_{AN} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 20&18&-10\\\\ -10&8&15 \end{vmatrix} =(350,\,-200,\,340).
Seu módulo é
\|\mathbf{n}\| =\sqrt{350^2+(-200)^2+340^2} =30\sqrt{309}.
Logo um versor normal ao triângulo é
\hat{\mathbf{n}} =\frac{\mathbf{n}}{\|\mathbf{n}\|} =\frac{1}{30\sqrt{309}}\,(350,\,-200,\,340) =\frac{1}{3\sqrt{309}}\,(35,\,-20,\,34).

Passo 3

(b) Um vetor no plano e perpendicular a \mathbf{R}_{AN} pode ser obtido por
\mathbf{w} =\mathbf{n}\times\mathbf{R}_{AN} =(350,-200,340)\times(-10,8,15) =(-5720,\,-8650,\,800).
O módulo de \mathbf{w} é
\|\mathbf{w}\| =\sqrt{(-5720)^2+(-8650)^2+800^2} =\sqrt{1081809}\,.
Assim o versor desejado é
\hat{\mathbf{u}} =\frac{\mathbf{w}}{\|\mathbf{w}\|} =\frac{1}{\sqrt{1081809}}\;(-5720,\,-8650,\,800).

Passo 4

(c) A bissetriz interna do ângulo em A é obtida somando os versores das arestas e normalizando. Defina
\mathbf{e}_M=\frac{\mathbf{R}_{AM}}{\|\mathbf{R}_{AM}\|},\quad \mathbf{e}_N=\frac{\mathbf{R}_{AN}}{\|\mathbf{R}_{AN}\|},
com
\|\mathbf{R}_{AM}\|=\sqrt{20^2+18^2+(-10)^2}=2\sqrt{206},\quad \|\mathbf{R}_{AN}\|=\sqrt{(-10)^2+8^2+15^2}=\sqrt{389}.
Então o vetor que bisseta o ângulo é
\mathbf{v}=\mathbf{e}_M+\mathbf{e}_N,
e seu versor é
\hat{\mathbf{b}} =\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} =\frac{\displaystyle \frac{(20,18,-10)}{2\sqrt{206}} +\frac{(-10,8,15)}{\sqrt{389}} }{\Big\|\displaystyle \frac{(20,18,-10)}{2\sqrt{206}} +\frac{(-10,8,15)}{\sqrt{389}} \Big\|}.

Resposta

(a) \displaystyle \hat{\mathbf{n}}=\frac{1}{3\sqrt{309}}\,(35,\,-20,\,34).
(b) \displaystyle \hat{\mathbf{u}}=\frac{1}{\sqrt{1081809}}\;(-5720,\,-8650,\,800).
(c) \displaystyle \hat{\mathbf{b}} =\frac{\frac{(20,18,-10)}{2\sqrt{206}} +\frac{(-10,8,15)}{\sqrt{389}}} {\Big\|\frac{(20,18,-10)}{2\sqrt{206}} +\frac{(-10,8,15)}{\sqrt{389}}\Big\|}.

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