1.13 i Encontre: (a) o componente vetorial de \mathbf{F}=10 \mathbf{a}_{x}-6 \mathbf{a}_{y}+5 \mathbf{a}_{z} que é paralelo a \mathbf{G}=0,1 \mathbf{a}_{x}+0,2 \mathbf{a}_{y}+0,3 \mathbf{a}_{z}; (b) o componente vetorial de \mathbf{F} que é perpendicular a \mathbf{G} ;\text{(c)} o componente vetorial de \mathbf{G} que é perpendicular a \mathbf{F}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\mathbf{F}=10\,\mathbf{a}_x-6\,\mathbf{a}_y+5\,\mathbf{a}_z \quad\text{e}\quad \mathbf{G}=0,1\,\mathbf{a}_x+0,2\,\mathbf{a}_y+0,3\,\mathbf{a}_z
e pede
(a) o componente de \mathbf{F} paralelo a \mathbf{G},
(b) o componente de \mathbf{F} perpendicular a \mathbf{G},
(c) o componente de \mathbf{G} perpendicular a \mathbf{F}.
O conteúdo necessário é projeção de vetores e produtos escalares.

Passo 2

Calcular os produtos escalares básicos:
\mathbf{F}\cdot\mathbf{G} =10\cdot0,1+(-6)\cdot0,2+5\cdot0,3 =1-1,2+1,5=1,3,
\mathbf{G}\cdot\mathbf{G} =(0,1)^2+(0,2)^2+(0,3)^2 =0,01+0,04+0,09=0,14,
\mathbf{F}\cdot\mathbf{F} =10^2+(-6)^2+5^2 =100+36+25=161.

Passo 3

O componente de \mathbf{F} paralelo a \mathbf{G} é
\mathbf{F}_{\parallel\mathbf{G}} =\frac{\mathbf{F}\cdot\mathbf{G}}{\mathbf{G}\cdot\mathbf{G}}\;\mathbf{G} =\frac{1,3}{0,14}\bigl(0,1\,\mathbf{a}_x+0,2\,\mathbf{a}_y+0,3\,\mathbf{a}_z\bigr) \approx0,9286\,\mathbf{a}_x+1,8571\,\mathbf{a}_y+2,7857\,\mathbf{a}_z.

Passo 4

O componente de \mathbf{F} perpendicular a \mathbf{G} é
\mathbf{F}_{\perp\mathbf{G}} =\mathbf{F}-\mathbf{F}_{\parallel\mathbf{G}} =(10-0,9286)\,\mathbf{a}_x+(-6-1,8571)\,\mathbf{a}_y+(5-2,7857)\,\mathbf{a}_z \approx9,0714\,\mathbf{a}_x-7,8571\,\mathbf{a}_y+2,2143\,\mathbf{a}_z.

Passo 5

O componente de \mathbf{G} perpendicular a \mathbf{F} vem de
\mathbf{G}_{\perp\mathbf{F}} =\mathbf{G} -\frac{\mathbf{G}\cdot\mathbf{F}}{\mathbf{F}\cdot\mathbf{F}}\;\mathbf{F} =\bigl(0,1\,\mathbf{a}_x+0,2\,\mathbf{a}_y+0,3\,\mathbf{a}_z\bigr) -\frac{1,3}{161}\bigl(10\,\mathbf{a}_x-6\,\mathbf{a}_y+5\,\mathbf{a}_z\bigr) \approx0,0193\,\mathbf{a}_x+0,2484\,\mathbf{a}_y+0,2596\,\mathbf{a}_z.

Resposta

(a) \mathbf{F}_{\parallel\mathbf{G}}=0,9286\,\mathbf{a}_x+1,8571\,\mathbf{a}_y+2,7857\,\mathbf{a}_z
(b) \mathbf{F}_{\perp\mathbf{G}}=9,0714\,\mathbf{a}_x-7,8571\,\mathbf{a}_y+2,2143\,\mathbf{a}_z
(c) \mathbf{G}_{\perp\mathbf{F}}=0,0193\,\mathbf{a}_x+0,2484\,\mathbf{a}_y+0,2596\,\mathbf{a}_z

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