Questão 3: Um capacitor de capacitância C=2,0 \mu \mathrm{~F} é carregado por uma bateria de 50,0 \mathrm{~V}, que em seguida é desligada. No instante t=0 \mathrm{~s}, um indutor de 6 mH é ligado ao capacitor para formar um circuito LC oscilante. Calcule:
a) ( 1,0 ponto) A carga no capacitor no instante t=0 \mathrm{~s}.
b) ( 1,5 ponto) A diferença de potencial V_{\mathrm{L}}(t) entre os terminais do indutor, em função do tempo.
c) ( 1,0 ponto) A energia total do circuito.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito LC em que um capacitor de capacitância C=2{,}0\;\mu\text{F} é carregado a 50{,}0\;\text{V} e, em t=0, conecta‐se um indutor de L=6{,}0\;\text{mH}. Pergunta‐se:
a) a carga inicial Q(0) no capacitor;
b) a tensão V_{L}(t) nos terminais do indutor como função do tempo;
c) a energia total do circuito.
Para resolver precisamos usar
  • Q(0)=C\,V_0,
  • as equações do oscilador LC:
Q(t)=Q_0\cos(\omega t),\quad I(t)=-Q_0\,\omega\,\sin(\omega t),\qquad \omega=\frac{1}{\sqrt{L\,C}},
  • e V_L(t)=L\,\frac{dI}{dt},
  • além da energia U=\tfrac12\,C\,V_0^2.

Passo 2

Calculando a carga inicial no capacitor:
Q(0)=C\,V_0 = \bigl(2{,}0\times10^{-6}\;\text{F}\bigr)\times\bigl(50{,}0\;\text{V}\bigr) =1{,}0\times10^{-4}\;\text{C}.

Passo 3

Determinar a pulsação natural \omega do circuito LC:
\omega = \frac{1}{\sqrt{L\,C}} = \frac{1}{\sqrt{\bigl(6{,}0\times10^{-3}\bigr)\,\bigl(2{,}0\times10^{-6}\bigr)}} =9{,}13\times10^{3}\;\text{rad/s}.

Passo 4

Usando
I(t)=-Q_0\,\omega\,\sin(\omega t),
temos
\frac{dI}{dt}=-Q_0\,\omega^2\cos(\omega t).
Portanto
V_L(t)=L\,\frac{dI}{dt} = -\,L\,Q_0\,\omega^2\cos(\omega t) = -\frac{Q_0}{C}\cos(\omega t) = -\,V_0\cos(\omega t).
Tomando o módulo e escrevendo a amplitude, fica
V_L(t)=50\;\cos\bigl(9{,}13\times10^3\;t\bigr)\;\text{V}.

Passo 5

A energia total do circuito, constante no oscilador LC, é
U=\tfrac12\,C\,V_0^2 =\tfrac12\times2{,}0\times10^{-6}\times(50{,}0)^2 =2{,}5\times10^{-3}\;\text{J}.

Resposta

a) Q(0)=1{,}0\times10^{-4}\;\text{C}.
b) V_{L}(t)=50\cos\bigl(9{,}13\times10^{3}\,t\bigr)\;\text{V}.
c) U=2{,}5\times10^{-3}\;\text{J}.

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