Em cada caso abaixo, calcule os limites laterais de f no ponto a.
f(x)=\frac{x^{2}-1}{|x-1|}, \quad a=1

Passo 1

O enunciado pede os limites laterais de
\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-1}{\lvert x-1\rvert}
no ponto a=1. O conteúdo aqui é cálculo de limites envolvendo valor absoluto: para resolver, vamos reescrever \lvert x-1\rvert de forma equivalente em cada lado de x=1.

Passo 2

Para x>1 temos \lvert x-1\rvert = x-1, então
f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1} =\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} =x+1.
Para x<1 temos \lvert x-1\rvert = -(x-1)=1-x, então
f(x)=\frac{x^{2}-1}{1-x} =\frac{(x-1)(x+1)}{-(x-1)} =-(x+1).

Passo 3

O limite pela esquerda ( x\to1^{-}) usa a expressão f(x)=-(x+1). Logo
\lim_{x\to1^{-}}f(x) =\lim_{x\to1^{-}}\bigl[-(x+1)\bigr] =-(1+1) =-2.

Passo 4

O limite pela direita ( x\to1^{+}) usa a expressão f(x)=x+1. Logo
\lim_{x\to1^{+}}f(x) =\lim_{x\to1^{+}}(x+1) =1+1 =2.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to1^{-}}f(x)=-2
\displaystyle \lim_{x\to1^{+}}f(x)=2

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