? 15) integral0^1 e^x sen pi x d x=

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral definida
integral0^1e^xsin(pi x),dx
O conteúdo aplicado aqui é a integração de funções do tipo e^axsin(bx), que a gente resolve usando integração por partes duas vezes.

Passo 2

Definimos a integral indefinida
I = integral e^xsin(pi x),dx
e aplicamos integração por partes escolhendo u=e^x e dv=sin(pi x),dx. Assim du=e^x,dx e v=-tfrac1picos(pi x).

Passo 3

Pela fórmula de partes obtemos
I = -e^xcos(pi x)pi + 1piintegral e^xcos(pi x),dx
Para simplificar, chamamos
J = integral e^xcos(pi x),dx

Passo 4

Em J aplicamos partes de novo com u=e^x e dv=cos(pi x),dx. Então du=e^x,dx e v=tfrac1pisin(pi x), o que dá
J = e^xsin(pi x)pi - 1piI

Passo 5

Substituindo J em I temos
I = -e^xcos(pi x)pi + 1pil(e^xsin(pi x)pi - 1piIr)
Reorganizando para isolar I e simplificar, chega-se a
I = e^xl(sin(pi x)-picos(pi x)r)1+pi^2 + C

Passo 6

Agora avaliamos a integral definida de 0 a 1:
integral0^1e^xsin(pi x),dx = [e^xl(sin(pi x)-picos(pi x)r)1+pi^2]0^1

Passo 7

Em x=1: sin(pi)=0, cos(pi)=-1 e,(0 - picdot(-1))=epi.
Em x=0: sin(0)=0, cos(0)=1 1,(0 - picdot1)=-pi.
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integral0^1e^xsin(pi x),dx = epi - (-pi)1+pi^2 = pi,(e+1)1+pi^2

Resposta

pi,(e+1)1+pi^2

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