Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

Passo 1

O enunciado pede para determinar lim(x,y)to(0,0) x^3y^2x^2+y^2. O conteúdo aqui é cálculo de limites de funções de duas variáveis e, para resolver, vamos usar mudança para coordenadas polares e uma desigualdade de confronto.

Passo 2

Na mudança para coordenadas polares, fazemos x=rcostheta e y=rsintheta, onde r>=0 e theta é o ângulo. Substituindo na expressão, obtemos:

Passo 3

x^3y^2x^2+y^2 =(rcostheta)^3,(rsintheta)^2(rcostheta)^2+(rsintheta)^2 =r^5cos^3theta,sin^2thetar^2 = r^3cos^3theta,sin^2theta

Passo 4

Agora, vamos estimar o valor absoluto dessa expressão usando que |costheta|<=1 e |sintheta|<=1:

Passo 5

|x^3y^2x^2+y^2| =|r^3cos^3theta,sin^2theta| <= r^3,|cos^3theta|,|sin^2theta| <= r^3

Passo 6

Como r=raizx^2+y^2 tende a 0 quando (x,y)to(0,0), temos r^3to0. Pelo teorema do confronto, o limite existe e vale zero.

Resposta

0

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