15-1 Kg de água a 20^{\circ} \mathrm{C} é colocada em contato térmico com um banho térmico a 80^{\circ} \mathrm{C}. (a) Qual é a variação de entropia do sistema composto (água mais banho térmico) quando o equilíbrio térmico for restabelecido? (b) Considere agora que 1 Kg de água a 20^{\circ} \mathrm{C} é aquecida mediante contatos sucessivos com dois reservatórios a 50^{\circ} \mathrm{C} e depois 80^{\circ} \mathrm{C} (esperando sempre o equilíbrio térmico em cada situação). Qual é a variação total de entropia do sistema combinado ao término dos dois contatos? Explique a diferença entre as respostas das letras (a) e (b). Dado: calor específico da água c=4,18 \mathrm{~J} / \mathrm{Kg}^{0} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado trata de calcular a variação de entropia em processos de aquecimento de água com capacidade calorífica constante. Usaremos a fórmula da entropia para um corpo cuja temperatura varia de T_i a T_f:
\Delta S = \int_{T_i}^{T_f} \frac{dQ_\text{rev}}{T} = m\,c\int_{T_i}^{T_f}\frac{dT}{T} = m\,c\ln\frac{T_f}{T_i}
e, para um reservatório que troca calor Q a temperatura constante T_\text{res},
\Delta S_\text{res}=-Q/T_\text{res}.
Adotamos m=1\:\mathrm{kg}, c=4,18\:\mathrm{kJ/(kg\,K)},
T_i=20^\circ\mathrm{C}=293,15\:\mathrm{K},
T_\text{meio}=50^\circ\mathrm{C}=323,15\:\mathrm{K},
T_f=80^\circ\mathrm{C}=353,15\:\mathrm{K}.

Passo 2

Calculamos a variação de entropia da água em (a), que vai de 293{,}15\:\mathrm{K} a 353{,}15\:\mathrm{K}:
\Delta S_\text{água} = m\,c\ln\frac{T_f}{T_i} =1\cdot4{,}18\ln\!\Bigl(\frac{353{,}15}{293{,}15}\Bigr) \approx4{,}18\times0{,}1869 \approx0{,}781\:\mathrm{kJ/K}.á

Passo 3

O reservatório a T_f=353{,}15\:\mathrm{K} fornece calor
\;Q=m\,c(T_f-T_i)=1\cdot4{,}18\cdot60=250{,}8\:\mathrm{kJ},
portanto
\Delta S_\text{banho} =-\frac{Q}{T_f} =-\frac{250{,}8}{353{,}15} \approx-0{,}710\:\mathrm{kJ/K}.

Passo 4

A entropia total em (a) é
\Delta S_\text{sist\,(a)} =\Delta S_\text{água}+\Delta S_\text{banho} \approx0{,}781-0{,}710 =0{,}071\:\mathrm{kJ/K} =71\:\mathrm{J/K}.á

Passo 5

Em (b) a água aquece em dois estágios. A variação de entropia da água é soma de dois trechos:
\Delta S_\text{água} =m\,c\ln\frac{T_\text{meio}}{T_i} + m\,c\ln\frac{T_f}{T_\text{meio}} =4{,}18\bigl[\ln\!\tfrac{323{,}15}{293{,}15}+\ln\!\tfrac{353{,}15}{323{,}15}\bigr] =4{,}18\ln\!\tfrac{353{,}15}{293{,}15} \approx0{,}781\:\mathrm{kJ/K}.á

Passo 6

O primeiro reservatório (a 323{,}15\:\mathrm{K}) cede
Q_1=1\cdot4{,}18\cdot30=125{,}4\:\mathrm{kJ},
logo
\Delta S_{\text{res}_1} =-\frac{125{,}4}{323{,}15} \approx-0{,}388\:\mathrm{kJ/K}.
O segundo (a 353{,}15\:\mathrm{K}) cede o mesmo 125{,}4\:\mathrm{kJ},
\Delta S_{\text{res}_2} =-\frac{125{,}4}{353{,}15} \approx-0{,}355\:\mathrm{kJ/K}.

Passo 7

A entropia total em (b) é
\Delta S_\text{sist\,(b)} =\Delta S_\text{água}+\Delta S_{\text{res}_1}+\Delta S_{\text{res}_2} \approx0{,}781-0{,}388-0{,}355 =0{,}038\:\mathrm{kJ/K} =38\:\mathrm{J/K}.á

Passo 8

A diferença ocorre porque em (a) houve um só contato com grande desnível térmico, aumentando a irreversibilidade e a produção de entropia. Em (b) o processo foi dividido em etapas com desníveis menores, reduzindo a produção de entropia. No limite de etapas infinitas, o aquecimento se tornaria reversível ( \Delta S\to0).

Resposta

(a) \Delta S_\text{sist}\approx71\:\mathrm{J/K}.
(b) \Delta S_\text{sist}\approx38\:\mathrm{J/K}.
Em (b) a divisão em dois contatos reduz a irreversibilidade e, portanto, a geração total de entropia.

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