Na relatividade de Einstein, a energia cinética e o momento são dados por: 10 \%
K=m_{0} c^{2}\left(\eta^{-1}-1\right)
e
\vec{p}=\gamma^{-1} m_{0} \vec{v}
onde \gamma=\left[1-(v / c)^{2}\right]^{1 / 2} é o fator de Lorentz, m, é massa de repouso e c é velocidade da luz.
Mostre que a energia cinética relativística se reduz ao caso clássico \left(K=(1 / 2) m v^{2}\right) quando v \ll c.

Passo 1

O enunciado dá a energia cinética relativística
K = m_{0}c^{2}\bigl(\gamma - 1\bigr)
com \gamma = \bigl[1 - (v/c)^{2}\bigr]^{-1/2}, e pede para mostrar que, no limite v \ll c, isso se reduz a
K \approx \tfrac12 m_{0}v^{2}.
Para isso vamos usar a expansão em série de Taylor de \gamma para pequenas velocidades.

Passo 2

Escrevemos
\gamma = \bigl[1 - (v/c)^{2}\bigr]^{-1/2}
e aplicamos a expansão binomial (1 - x)^{-1/2} \approx 1 + \tfrac12 x + \tfrac{3}{8}x^{2} + \cdots válida para \lvert x\rvert \ll 1. Aqui x = (v/c)^{2}.

Passo 3

Pela expansão binomial,
\gamma \approx 1 + \tfrac12\,(v/c)^{2} + \cdots.
Então
\gamma - 1 \approx \tfrac12\,(v/c)^{2}.

Passo 4

Substituindo em K = m_{0}c^{2}(\gamma - 1), obtemos
K \approx m_{0}c^{2} \cdot \tfrac12\,(v/c)^{2} = \tfrac12\,m_{0}v^{2}.

Resposta

No limite v \ll c, a energia cinética relativística reduz-se à forma clássica
K \approx \tfrac12\,m_{0}v^{2}.

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