15 \lim _{x \rightarrow \sqrt{2}}\left(x^{2}+3\right)(x-4)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
15 \lim_{x \rightarrow \sqrt{2}}\bigl(x^{2}+3\bigr)(x-4).
Informações dadas:
  • A expressão dentro do limite é \bigl(x^{2}+3\bigr)(x-4).
  • O ponto de aproximação é x \to \sqrt{2}.
  • Há um fator multiplicativo externo 15.

Passo 2

Regra útil (lembrete didático): se uma função é soma, produto ou composição de polinômios e funções elementares contínuas, então ela é contínua e o limite quando x\to a pode ser obtido substituindo x=a.
Regras de limites que usaremos:
\lim_{x\to a} c\cdot f(x)=c\cdot\lim_{x\to a} f(x),
\lim_{x\to a} \bigl(f(x)\,g(x)\bigr)=\bigl(\lim_{x\to a} f(x)\bigr)\cdot\bigl(\lim_{x\to a} g(x)\bigr),
desde que os limites das partes existam. Polinômios são contínuos em todo lugar, logo podemos avaliar por substituição.

Passo 3

Aplicando a propriedade do fator constante, tiramos o 15 para fora do limite:
15 \lim_{x \rightarrow \sqrt{2}}\bigl(x^{2}+3\bigr)(x-4) =15\cdot \lim_{x \rightarrow \sqrt{2}}\bigl[(x^{2}+3)(x-4)\bigr].

Passo 4

Aplicando a regra do produto de limites, escrevemos:
\lim_{x \rightarrow \sqrt{2}}\bigl[(x^{2}+3)(x-4)\bigr] = \left(\lim_{x\to\sqrt{2}} (x^{2}+3)\right)\cdot\left(\lim_{x\to\sqrt{2}} (x-4)\right).

Passo 5

Avaliação do primeiro limite por substituição (polinômio contínuo):
\lim_{x\to\sqrt{2}} (x^{2}+3) = (\sqrt{2})^{2}+3 = 2+3 = 5.

Passo 6

Avaliação do segundo limite por substituição:
\lim_{x\to\sqrt{2}} (x-4) = \sqrt{2}-4.

Passo 7

Multiplicando as duas partes e aplicando o fator 15:
15\cdot\bigl(5\cdot(\sqrt{2}-4)\bigr) =15\cdot(5\sqrt{2}-20) =75\sqrt{2}-300.
Também podemos escrever a forma fatorada
75(\sqrt{2}-4).

Resposta

75\sqrt{2}-300

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