Ache cada limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow 16} \frac{2 \sqrt{x}+x^{3 / 2}}{\sqrt[4]{x}+5}

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to16}\frac{2\sqrt{x}+x^{3/2}}{\sqrt[4]{x}+5}.
Informações dadas no enunciado:
  • A expressão é a razão entre um numerador 2\sqrt{x}+x^{3/2} e um denominador \sqrt[4]{x}+5.
  • O ponto de interesse para o limite é x=16.

Passo 2

Idea principal que vou usar (explicadinha): se duas funções f e g são contínuas no ponto a e g(a)\neq0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(a)}{g(a)}.
Isso significa que, quando for seguro (denominador não nulo e funções contínuas), basta substituir x=a diretamente. Vou usar isso aqui.

Passo 3

Por que as funções que aparecem são contínuas em x=16?
  • A função \sqrt{x}=x^{1/2} é contínua para x\ge0.
  • A função x^{3/2} é contínua para x\ge0.
  • A função \sqrt[4]{x}=x^{1/4} é contínua para x\ge0.
    Como 16\ge0, todas as partes são contínuas em 16. Então só preciso checar se o denominador em x=16 é diferente de zero; se for, posso substituir.

Passo 4

Calcular o denominador em x=16:
\sqrt[4]{16}+5.
Lembrando que \sqrt[4]{16}=(\sqrt{16})^{1/2}=4^{1/2}=2. Portanto
\sqrt[4]{16}+5=2+5=7.
Como 7\neq0, a substituição direta é permitida.

Passo 5

Calcular o numerador em x=16:
2\sqrt{16}+16^{3/2}.
Temos \sqrt{16}=4, então 2\sqrt{16}=2\cdot4=8.
Para 16^{3/2} pode-se ver como 16\cdot\sqrt{16}=16\cdot4=64 (ou (\sqrt{16})^3=4^3=64). Assim
2\sqrt{16}+16^{3/2}=8+64=72.

Passo 6

Aplicando a regra da Passo 2 (substituição), já que o denominador em x=16 é 7\neq0 e as funções são contínuas:
\lim_{x\to16}\frac{2\sqrt{x}+x^{3/2}}{\sqrt[4]{x}+5}=\frac{72}{7}.
Verificação rápida: 72 e 7 não têm fator comum além de 1, então a fração está irredutível.

Resposta

\dfrac{72}{7}

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