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Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes dadas:
- A função é a razão de dois polinômios: numerador
e denominador . - O ponto onde tomamos o limite é
.
Passo 2
Primeiro teste rápido: tentar substituir diretamente
para ver se o limite é trivial (isto é, se dá um número finito não problemático).
Calcular o numerador em :
Calcular o numerador em
Calcular o denominador em
:
Como numerador e denominador são ambos zero ao substituir, obtemos uma forma indeterminada
. Isso indica que não podemos concluir o valor do limite por simples substituição; é preciso simplificar a expressão.
Passo 3
Explicando o que significa a forma indeterminada
: quer dizer que a função tem um “buraco” removível (ou outra descontinuidade) em
. Uma maneira padrão de resolver nesses casos é simplificar a expressão algébrica (por exemplo, fatorando e cancelando um fator comum) para obter uma expressão equivalente para
e então avaliar o limite dessa expressão simplificada. Vou usar fatoração algébrica, que é o método direto e elementar aqui.
Passo 4
Fatorar o numerador
. Para fatorar um quadrático
procuramos suas raízes pela fórmula quadrática ou tentamos fatorar por inspeção. Usando a fórmula:
Aqui
,
,
. Calcular o discriminante:
Então as raízes são
Isso dá
e
. Portanto o numerador fatora como
(Verificação rápida:
.)
Passo 5
Fatorar o denominador
. Podemos procurar fatores lineares do tipo
com
e
de modo que
. Tentar combinações leva a:
(Verificação:
.)
Passo 6
Agora reescrever a função original usando essas fatorações:
Para
(onde
) podemos cancelar o fator comum
, obtendo a função simplificada
A justificativa: o limite depende apenas do comportamento da função para
próximos de
mas diferentes de
. Se duas funções coincidem em todo ponto num vizinho (exceto possivelmente no próprio ponto), têm o mesmo limite naquele ponto.
Passo 7
Avaliar o limite da expressão simplificada por substituição direta (agora não há indeterminação):
Resposta
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