21 \lim _{x \rightarrow 1 / 2} \frac{2 x^{2}+5 x-3}{6 x^{2}-7 x+2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 1/2}\frac{2x^{2}+5x-3}{6x^{2}-7x+2}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é a razão de dois polinômios: numerador 2x^{2}+5x-3 e denominador 6x^{2}-7x+2.
  • O ponto onde tomamos o limite é x=\tfrac{1}{2}.

Passo 2

Primeiro teste rápido: tentar substituir diretamente x=\tfrac{1}{2} para ver se o limite é trivial (isto é, se dá um número finito não problemático).
Calcular o numerador em x=\tfrac{1}{2}:
2\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}+5\left(\tfrac{1}{2}\right)-3 =2\cdot\tfrac{1}{4}+ \tfrac{5}{2}-3 =\tfrac{1}{2}+\tfrac{5}{2}-3 =\tfrac{6}{2}-3 =3-3=0.
Calcular o denominador em x=\tfrac{1}{2}:
6\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}-7\left(\tfrac{1}{2}\right)+2 =6\cdot\tfrac{1}{4}-\tfrac{7}{2}+2 =\tfrac{6}{4}-\tfrac{7}{2}+2 =\tfrac{3}{2}-\tfrac{7}{2}+2 =-\tfrac{4}{2}+2 =-2+2=0.
Como numerador e denominador são ambos zero ao substituir, obtemos uma forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Isso indica que não podemos concluir o valor do limite por simples substituição; é preciso simplificar a expressão.

Passo 3

Explicando o que significa a forma indeterminada \tfrac{0}{0}: quer dizer que a função tem um “buraco” removível (ou outra descontinuidade) em x=\tfrac{1}{2}. Uma maneira padrão de resolver nesses casos é simplificar a expressão algébrica (por exemplo, fatorando e cancelando um fator comum) para obter uma expressão equivalente para x\neq\tfrac{1}{2} e então avaliar o limite dessa expressão simplificada. Vou usar fatoração algébrica, que é o método direto e elementar aqui.

Passo 4

Fatorar o numerador 2x^{2}+5x-3. Para fatorar um quadrático ax^{2}+bx+c procuramos suas raízes pela fórmula quadrática ou tentamos fatorar por inspeção. Usando a fórmula:
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=2, b=5, c=-3. Calcular o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=5^{2}-4\cdot2\cdot(-3)=25+24=49.
Então as raízes são
x=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2\cdot2}=\frac{-5\pm7}{4}.
Isso dá x=\tfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2} e x=\tfrac{-12}{4}=-3. Portanto o numerador fatora como
2x^{2}+5x-3=(2x-1)(x+3).
(Verificação rápida: (2x-1)(x+3)=2x^{2}+6x-x-3=2x^{2}+5x-3.)

Passo 5

Fatorar o denominador 6x^{2}-7x+2. Podemos procurar fatores lineares do tipo (ax+b)(cx+d) com ac=6 e bd=2 de modo que ad+bc=-7. Tentar combinações leva a:
6x^{2}-7x+2=(3x-2)(2x-1).
(Verificação: (3x-2)(2x-1)=6x^{2}-3x-4x+2=6x^{2}-7x+2.)

Passo 6

Agora reescrever a função original usando essas fatorações:
\frac{2x^{2}+5x-3}{6x^{2}-7x+2} =\frac{(2x-1)(x+3)}{(3x-2)(2x-1)}.
Para x\neq\tfrac{1}{2} (onde 2x-1\neq0) podemos cancelar o fator comum (2x-1), obtendo a função simplificada
\frac{x+3}{3x-2},\qquad x\neq\tfrac{1}{2}.
A justificativa: o limite depende apenas do comportamento da função para x próximos de \tfrac{1}{2} mas diferentes de \tfrac{1}{2}. Se duas funções coincidem em todo ponto num vizinho (exceto possivelmente no próprio ponto), têm o mesmo limite naquele ponto.

Passo 7

Avaliar o limite da expressão simplificada por substituição direta (agora não há indeterminação):
\lim_{x\to 1/2}\frac{x+3}{3x-2}=\frac{\tfrac{1}{2}+3}{3\cdot\tfrac{1}{2}-2} =\frac{\tfrac{1}{2}+ \tfrac{6}{2}}{\tfrac{3}{2}-2} =\frac{\tfrac{7}{2}}{-\tfrac{1}{2}} =\left(\tfrac{7}{2}\right)\div\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-7.

Resposta

-7

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