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Um manômetro tubo em U, cheio com mercúrio, está conectado entre dois pontos de uma tubulação. Se a leitura do manômetro for 26 mm de Hg , calcule a diferença de pressão em quilopascals entre os pontos, quando (a) água fluir através do tubo e (b) ar, a pressão atmosférica e 20^{\circ} \mathrm{C}, com massa específica de 1,20 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, estiver escoando na tubulação.

Passo 1

O enunciado: um manômetro em U cheio com mercúrio dá leitura de 26\\ \text{mm de Hg}. Preciso calcular a diferença de pressão entre os dois pontos da tubulação (ou seja, \Delta p = p_1-p_2) em quilopascals nos dois casos abaixo, sem pedir nada a mais:
  • (a) quando na tubulação estiver fluindo água;
  • (b) quando na tubulação estiver fluindo ar (a 20^\circ\mathrm{C} com massa específica \rho_{\text{ar}}=1,20\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3).
Dados fornecidos / informações relevantes:
  • leitura do manômetro: \;26\\ \text{mm Hg} (isto é, diferença de níveis do mercúrio \;h=26\\ \text{mm});
  • o manômetro está cheio de mercúrio (usar densidade típica do Hg);
  • para o caso (a) a densidade da água será usada como \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3á (valor padrão);
  • para o caso (b) a densidade do ar é \rho_{\text{ar}}=1,20\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 (fornecida);
  • gravidade: \;g=9,81\\ \mathrm{m/s}^2 (valor padrão);
  • vou considerar densidade do mercúrio \rho_{\text{Hg}}=13600\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 (valor usual).

Passo 2

Princípio físico essencial — pressão hidrostática:
p = p_0 + \rho g \Delta z
Explicando: se você vai de um ponto A para um ponto B em um mesmo fluido, a pressão muda por \rho g\Delta z, onde
  • \;p é a pressão no ponto final,
  • \;p_0 é a pressão no ponto inicial,
  • \;\rho é a massa específica (densidade) do fluido que está sendo atravessado,
  • \;g é a aceleração da gravidade,
  • \;\Delta z é a variação vertical (queda positiva quando se desce).
Esse é o conceito que permite relacionar pressões em diferentes colunas do manômetro.

Passo 3

Derivação da fórmula específica para este manômetro diferencial (explicando cada etapa como se estivéssemos desenhando o caminho pela coluna):
Considere dois pontos da tubulação com pressões p_1 e p_2. Cada ponto está ligado a um braço do manômetro; nas duas colunas acima do mercúrio haverá o fluido da tubulação (água ou ar) e entre as colunas haverá o mercúrio cuja diferença de nível é h.
Tomamos um percurso imaginário que parte de p_1 (no ponto 1), desce até a superfície do mercúrio no braço esquerdo, atravessa o mercúrio até a superfície do mercúrio no braço direito e sobe até p_2. Aplicando a equação da pressão hidrostática passo a passo e lembrando que a pressão é contínua nas interfaces fluido/mercurio, obtemos (os sinais de subida/descida se combinam e resultam na forma padrão):
p_1 - p_2 = (\rho_{\text{Hg}} - \rho_f)\,g\,h,
onde
  • \rho_{\text{Hg}} é a densidade do mercúrio (fluido do manômetro),
  • \rho_f é a densidade do fluido na tubulação (água ou ar),
  • h é a diferença vertical entre os níveis do mercúrio (medida do manômetro),
  • g é a gravidade.
Intuição rápida: se os dois lados acima do mercúrio fossem vácuo ( \rho_f=0), a diferença de pressão seria simplesmente \rho_{\text{Hg}} g h. Quando o fluido na tubulação tem densidade diferente de zero, ele “sustenta” parte da coluna, reduzindo a contribuição líquida do mercúrio; por isso aparece \rho_{\text{Hg}}-\rho_f.

Passo 4

Preparação para calcular: converter unidades e listar valores numéricos (tudo em TeX):
h = 26\\ \text{mm} = 0,026\\ \mathrm{m},
\rho_{\text{Hg}} = 13600\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3,
\rho_{\text{água}} = 1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3,á
\rho_{\text{ar}} = 1,20\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3\quad(\text{dado}),
g = 9,81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
Fórmula que vamos usar diretamente:
\Delta p = p_1-p_2 = (\rho_{\text{Hg}} - \rho_f)\,g\,h.
Observação prática: o resultado estará em pascals (Pa). Para transformar em quilopascals usamos 1\\ \mathrm{kPa}=1000\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Cálculo do caso (a): fluindo água ( \rho_f=\rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3á).
Primeiro calculemos o fator g\,h:
g\,h = 9,81\times 0,026 = 0,25506\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2\\ (\text{unidade que, multiplicada por }\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3,\text{ dá Pa}).á
Agora a diferença de densidades:
\rho_{\text{Hg}} - \rho_{\text{água}} = 13600 - 1000 = 12600\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.á
Multiplicando tudo:
\Delta p = 12600 \times 0,25506 = 3213,756\\ \mathrm{Pa}.
Converter para quilopascals:
\Delta p = \frac{3213,756}{1000} = 3,213756\\ \mathrm{kPa}.
Arredondando de forma razoável para três algarismos significativos:
\Delta p \approx 3,214\\ \mathrm{kPa}.

Passo 6

Cálculo do caso (b): fluindo ar ( \rho_f=\rho_{\text{ar}}=1,20\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3).
Diferença de densidades:
\rho_{\text{Hg}} - \rho_{\text{ar}} = 13600 - 1,20 = 13598,8\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
Usando o mesmo g\,h = 0,25506, multiplicamos:
\Delta p = 13598,8 \times 0,25506 = 3468,509928\\ \mathrm{Pa}.
Converter para quilopascals:
\Delta p = \frac{3468,509928}{1000} = 3,468509928\\ \mathrm{kPa}.
Arredondando para três algarismos significativos:
\Delta p \approx 3,469\\ \mathrm{kPa}.

Passo 7

Interpretação final e observações didáticas:
  • A diferença entre os dois casos vem do fato de que a água tem densidade relativamente grande, então “compensa” parte do peso do mercúrio na coluna do manômetro, reduzindo a diferença de pressão indicada. O ar tem densidade muito pequena, então o valor fica praticamente igual ao caso em que o manômetro está aberto ao vácuo, isto é, \rho_{\text{Hg}} g h.
  • Em provas, se não for informado o valor da densidade do mercúrio, use o valor padrão \rho_{\text{Hg}}=13600\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 e sempre converta mm para metros antes de multiplicar.
  • Motivação: você agora tem uma fórmula direta e sabe como aplicá-la sem pular etapas — é só substituir as densidades, g e h.

Resposta

(a) 3,214\\ \mathrm{kPa}
(b) 3,469\\ \mathrm{kPa}

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