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Um manômetro tubo em U, cheio com mercúrio, está conectado entre dois pontos de uma tubulação. Se a leitura do manômetro for 26 mm de Hg , calcule a diferença de pressão em quilopascals entre os pontos, quando (a) água fluir através do tubo e (b) ar, a pressão atmosférica e
, com massa específica de
, estiver escoando na tubulação.
Um manômetro tubo em U, cheio com mercúrio, está conectado entre dois pontos de uma tubulação. Se a leitura do manômetro for 26 mm de Hg , calcule a diferença de pressão em quilopascals entre os pontos, quando (a) água fluir através do tubo e (b) ar, a pressão atmosférica e
Passo 1
O enunciado: um manômetro em U cheio com mercúrio dá leitura de
. Preciso calcular a diferença de pressão entre os dois pontos da tubulação (ou seja,
) em quilopascals nos dois casos abaixo, sem pedir nada a mais:
- (a) quando na tubulação estiver fluindo água;
- (b) quando na tubulação estiver fluindo ar (a
com massa específica ).
Dados fornecidos / informações relevantes:
- leitura do manômetro:
(isto é, diferença de níveis do mercúrio ); - o manômetro está cheio de mercúrio (usar densidade típica do Hg);
- para o caso (a) a densidade da água será usada como
(valor padrão); - para o caso (b) a densidade do ar é
(fornecida); - gravidade:
(valor padrão); - vou considerar densidade do mercúrio
(valor usual).
Passo 2
Princípio físico essencial — pressão hidrostática:
Explicando: se você vai de um ponto A para um ponto B em um mesmo fluido, a pressão muda por
, onde
-
é a pressão no ponto final, -
é a pressão no ponto inicial, -
é a massa específica (densidade) do fluido que está sendo atravessado, -
é a aceleração da gravidade, -
é a variação vertical (queda positiva quando se desce).
Esse é o conceito que permite relacionar pressões em diferentes colunas do manômetro.
Passo 3
Derivação da fórmula específica para este manômetro diferencial (explicando cada etapa como se estivéssemos desenhando o caminho pela coluna):
Considere dois pontos da tubulação com pressões
e
. Cada ponto está ligado a um braço do manômetro; nas duas colunas acima do mercúrio haverá o fluido da tubulação (água ou ar) e entre as colunas haverá o mercúrio cuja diferença de nível é
.
Tomamos um percurso imaginário que parte de
(no ponto 1), desce até a superfície do mercúrio no braço esquerdo, atravessa o mercúrio até a superfície do mercúrio no braço direito e sobe até
. Aplicando a equação da pressão hidrostática passo a passo e lembrando que a pressão é contínua nas interfaces fluido/mercurio, obtemos (os sinais de subida/descida se combinam e resultam na forma padrão):
onde
-
é a densidade do mercúrio (fluido do manômetro), -
é a densidade do fluido na tubulação (água ou ar), -
é a diferença vertical entre os níveis do mercúrio (medida do manômetro), -
é a gravidade.
Intuição rápida: se os dois lados acima do mercúrio fossem vácuo (
), a diferença de pressão seria simplesmente
. Quando o fluido na tubulação tem densidade diferente de zero, ele “sustenta” parte da coluna, reduzindo a contribuição líquida do mercúrio; por isso aparece
.
Passo 4
Preparação para calcular: converter unidades e listar valores numéricos (tudo em TeX):
Fórmula que vamos usar diretamente:
Observação prática: o resultado estará em pascals (Pa). Para transformar em quilopascals usamos
.
Passo 5
Cálculo do caso (a): fluindo água (
).
Primeiro calculemos o fator
:
Agora a diferença de densidades:
Multiplicando tudo:
Converter para quilopascals:
Arredondando de forma razoável para três algarismos significativos:
Passo 6
Cálculo do caso (b): fluindo ar (
).
Diferença de densidades:
Usando o mesmo
, multiplicamos:
Converter para quilopascals:
Arredondando para três algarismos significativos:
Passo 7
Interpretação final e observações didáticas:
- A diferença entre os dois casos vem do fato de que a água tem densidade relativamente grande, então “compensa” parte do peso do mercúrio na coluna do manômetro, reduzindo a diferença de pressão indicada. O ar tem densidade muito pequena, então o valor fica praticamente igual ao caso em que o manômetro está aberto ao vácuo, isto é,
. - Em provas, se não for informado o valor da densidade do mercúrio, use o valor padrão
e sempre converta mm para metros antes de multiplicar. - Motivação: você agora tem uma fórmula direta e sabe como aplicá-la sem pular etapas — é só substituir as densidades,
e .
Resposta
(a)
(b)
(b)