[15] Marque apenas as afirmações corretas.
(a) Uma função f: A \rightarrow B é dita injetiva se \forall x \in A, \exists y \in B: y=f(x).
(b) Uma função f: A \rightarrow B é dita sobrejetiva se \forall y \in B, \exists x \in A: y=f(x).
(c) Uma função f: A \rightarrow B é dita sobrejetiva se f(x)=f(y) \Rightarrow x=y, \forall x, y \in A.
(d) Uma função f: A \rightarrow B é dita injetiva se f(x)=f(y) \Rightarrow x=y, \forall x, y \in A.
(e) Uma função f: A \rightarrow B é dita injetiva f(x)=f(y) \Rightarrow x=y, para algum x, y \in \Lambda.
(f) Uma regra f: A \rightarrow B é uma função se, e somente se, x=y \Rightarrow f(x)=f(y), para todo $x, y \in A.

Passo 1

O enunciado pede: marcar apenas as afirmações corretas entre (a)–(f). As afirmações dadas são (copiadas exatamente):
(a) Uma função f: A \rightarrow B é dita injetiva se \forall x \in A, \exists y \in B: y=f(x).
(b) Uma função f: A \rightarrow B é dita sobrejetiva se \forall y \in B, \exists x \in A: y=f(x).
(c) Uma função f: A \rightarrow B é dita sobrejetiva se f(x)=f(y) \Rightarrow x=y, \forall x, y \in A.
(d) Uma função f: A \rightarrow B é dita injetiva se f(x)=f(y) \Rightarrow x=y, \forall x, y \in A.
(e) Uma função f: A \rightarrow B é dita injetiva f(x)=f(y) \Rightarrow x=y, para algum x, y \in \Lambda.
(f) Uma regra f: A \rightarrow B é uma função se, e somente se, x=y \Rightarrow f(x)=f(y), para todo x, y \in A.
Informações relevantes dadas: cada item tenta afirmar uma definição (injetiva, sobrejetiva, ou condição sobre ser função).

Passo 2

Vamos lembrar a definição correta e completa de função (para não confundir tudo depois). Dizemos que uma regra f é uma função de A em B (escrevemos f: A \to B) se, e somente se, para todo x\in A existe exatamente um y\in B tal que y=f(x). Em símbolos:
\forall x\in A\;\exists!\,y\in B:\;y=f(x).
Aqui \exists! significa “existe e é único”. Essa definição tem duas partes importantes: existência (cada x tem imagem) e unicidade (essa imagem é única). Guarde bem isso — muita confusão vem de esquecer “existe” ou “é único”.

Passo 3

Definição de injetividade (explicada devagar e com intuição).
Uma função f: A\to B é injetiva se elementos distintos do domínio têm imagens distintas. Uma forma muito usada e prática dessa definição é a implicação
f(x)=f(y)\Rightarrow x=y,\quad\forall x,y\in A.
Intuição: se duas imagens coincidem, então os dois argumentos já eram o mesmo elemento — não há “colisão” de dois x diferentes indo para a mesma imagem. Essa é exatamente a forma lógica que aparece no item (d). Portanto (d) corresponde à definição correta de injetividade.

Passo 4

Definição de sobrejetividade (explicada devagar e com intuição).
Uma função f: A\to B é sobrejetiva (ou “sobre”) se toda y\in B é imagem de algum x\in A. Em símbolos:
\forall y\in B\;\exists x\in A:\;y=f(x).
Intuição: a imagem de f “cobre” todo o conjunto B. Isso é exatamente o que diz o item (b). Logo (b) é a definição correta de sobrejetividade.

Passo 5

Agora vamos checar item a item, mostrando por que cada um é verdadeiro ou falso, com exemplos simples quando necessário.
(a) Afirma: “ f é injetiva se \forall x\in A,\\ \exists y\in B: y=f(x).”
  • O que essa fórmula diz é apenas que para todo x\in A existe um y\in B tal que y=f(x). Mas isso é só a parte de existência da definição de função — não fala nada sobre unicidade nem sobre comparação de imagens. Em outras palavras, (a) é a condição mínima para ser uma função (existência da imagem), não é a condição de injetividade.
  • Conclusão: (a) é falsa.

Passo 6

(b) Afirma: “ f é sobrejetiva se \forall y\in B,\\ \exists x\in A: y=f(x).”
  • Isso coincide exatamente com a definição de sobrejetiva que escrevemos no Passo 4.
  • Conclusão: (b) é verdadeira.

Passo 7

(c) Afirma: “ f é sobrejetiva se f(x)=f(y)\Rightarrow x=y,\\ \forall x,y\in A.”
  • A implicação escrita é a definição de injetividade (veja Passo 3). Não tem nada a ver com “cada y\in B ter um pré-imagem”.
  • Conclusão: (c) é falsa.

Passo 8

(d) Afirma: “ f é injetiva se f(x)=f(y)\Rightarrow x=y,\\ \forall x,y\in A.”
  • Isso é exatamente a forma padrão e correta de definir injetividade, já discutida no Passo 3.
  • Conclusão: (d) é verdadeira.

Passo 9

(e) Afirma: “ f é injetiva f(x)=f(y)\Rightarrow x=y, para algum x,y\in\Lambda.”
  • Existem dois problemas: (i) a condição lógica correta deve valer para todos os x,y\in A, não apenas para “algum” par; (ii) o enunciado usa \Lambda em vez de A, que é incoerente com a notação inicial (domínio é A). Mesmo interpretando benevolentemente, ter a condição apenas para “algum” par não garante injetividade (você precisa que a implicação valha para todos os pares).
  • Conclusão: (e) é falsa.

Passo 10

(f) Afirma: “Uma regra f: A\rightarrow B é uma função se, e somente se, x=y\Rightarrow f(x)=f(y), para todo x,y\in A.”
  • Primeiro clarificar: se já escrevemos f: A\to B normalmente isso sugere uma regra que associa algo em B a cada elemento de A; mesmo assim, analise a lógica pura.
  • A implicação x=y\Rightarrow f(x)=f(y) é uma propriedade que qualquer função “bem-definida” satisfaz automaticamente — porque se x=y então ambos são exatamente o mesmo elemento e a imagem é a mesma. Logo essa condição é verdadeira para toda função (é necessária).
  • Mas essa condição é muito fraca para caracterizar funções: ela não garante que para cada x\in A exista uma imagem, nem garante que a imagem seja única (a definição completa de função exige \forall x\in A\\ \exists!\,y\in B:\;y=f(x)). Portanto a condição em (f) é necessária, porém não suficiente; não é equivalente à definição de função. Dizer “se, e somente se” é, portanto, incorreto.
  • Exemplo conceitual (intuitivo): a implicação em (f) é praticamente um tautologia quando f está bem definida; ela não captura a exigência “cada x tem exatamente uma imagem”.
  • Conclusão: (f) é falsa.

Resposta

(b)
(d)

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