[15] Marque apenas as afirmações corretas.
(a) Uma função
é dita injetiva se
.
(b) Uma função
é dita sobrejetiva se
.
(c) Uma função
é dita sobrejetiva se
.
(d) Uma função
é dita injetiva se
.
(e) Uma função
é dita injetiva
, para algum
.
(f) Uma regra
é uma função se, e somente se,
, para todo $x, y \in A.
(a) Uma função
(b) Uma função
(c) Uma função
(d) Uma função
(e) Uma função
(f) Uma regra
Passo 1
O enunciado pede: marcar apenas as afirmações corretas entre (a)–(f). As afirmações dadas são (copiadas exatamente):
(a) Uma função é dita injetiva se
.
(b) Uma função é dita sobrejetiva se
.
(c) Uma função é dita sobrejetiva se
.
(d) Uma função é dita injetiva se
.
(e) Uma função é dita injetiva
, para algum
.
(f) Uma regra é uma função se, e somente se,
, para todo
.
Informações relevantes dadas: cada item tenta afirmar uma definição (injetiva, sobrejetiva, ou condição sobre ser função).
(a) Uma função
(b) Uma função
(c) Uma função
(d) Uma função
(e) Uma função
(f) Uma regra
Informações relevantes dadas: cada item tenta afirmar uma definição (injetiva, sobrejetiva, ou condição sobre ser função).
Passo 2
Vamos lembrar a definição correta e completa de função (para não confundir tudo depois). Dizemos que uma regra
é uma função de
em
(escrevemos
) se, e somente se, para todo
existe exatamente um
tal que
. Em símbolos:
Aqui
significa “existe e é único”. Essa definição tem duas partes importantes: existência (cada
tem imagem) e unicidade (essa imagem é única). Guarde bem isso — muita confusão vem de esquecer “existe” ou “é único”.
Passo 3
Definição de injetividade (explicada devagar e com intuição).
Uma função é injetiva se elementos distintos do domínio têm imagens distintas. Uma forma muito usada e prática dessa definição é a implicação
Uma função
Intuição: se duas imagens coincidem, então os dois argumentos já eram o mesmo elemento — não há “colisão” de dois
diferentes indo para a mesma imagem. Essa é exatamente a forma lógica que aparece no item (d). Portanto (d) corresponde à definição correta de injetividade.
Passo 4
Definição de sobrejetividade (explicada devagar e com intuição).
Uma função é sobrejetiva (ou “sobre”) se toda
é imagem de algum
. Em símbolos:
Uma função
Intuição: a imagem de
“cobre” todo o conjunto
. Isso é exatamente o que diz o item (b). Logo (b) é a definição correta de sobrejetividade.
Passo 5
Agora vamos checar item a item, mostrando por que cada um é verdadeiro ou falso, com exemplos simples quando necessário.
(a) Afirma: “
é injetiva se
.”
- O que essa fórmula diz é apenas que para todo
existe um tal que . Mas isso é só a parte de existência da definição de função — não fala nada sobre unicidade nem sobre comparação de imagens. Em outras palavras, (a) é a condição mínima para ser uma função (existência da imagem), não é a condição de injetividade. - Conclusão: (a) é falsa.
Passo 6
(b) Afirma: “
é sobrejetiva se
.”
- Isso coincide exatamente com a definição de sobrejetiva que escrevemos no Passo 4.
- Conclusão: (b) é verdadeira.
Passo 7
(c) Afirma: “
é sobrejetiva se
.”
- A implicação escrita é a definição de injetividade (veja Passo 3). Não tem nada a ver com “cada
ter um pré-imagem”. - Conclusão: (c) é falsa.
Passo 8
(d) Afirma: “
é injetiva se
.”
- Isso é exatamente a forma padrão e correta de definir injetividade, já discutida no Passo 3.
- Conclusão: (d) é verdadeira.
Passo 9
(e) Afirma: “
é injetiva
, para algum
.”
- Existem dois problemas: (i) a condição lógica correta deve valer para todos os
, não apenas para “algum” par; (ii) o enunciado usa em vez de , que é incoerente com a notação inicial (domínio é ). Mesmo interpretando benevolentemente, ter a condição apenas para “algum” par não garante injetividade (você precisa que a implicação valha para todos os pares). - Conclusão: (e) é falsa.
Passo 10
(f) Afirma: “Uma regra
é uma função se, e somente se,
, para todo
.”
- Primeiro clarificar: se já escrevemos
normalmente isso sugere uma regra que associa algo em a cada elemento de ; mesmo assim, analise a lógica pura. - A implicação
é uma propriedade que qualquer função “bem-definida” satisfaz automaticamente — porque se então ambos são exatamente o mesmo elemento e a imagem é a mesma. Logo essa condição é verdadeira para toda função (é necessária). - Mas essa condição é muito fraca para caracterizar funções: ela não garante que para cada
exista uma imagem, nem garante que a imagem seja única (a definição completa de função exige ). Portanto a condição em (f) é necessária, porém não suficiente; não é equivalente à definição de função. Dizer “se, e somente se” é, portanto, incorreto. - Exemplo conceitual (intuitivo): a implicação em (f) é praticamente um tautologia quando f está bem definida; ela não captura a exigência “cada
tem exatamente uma imagem”. - Conclusão: (f) é falsa.
Resposta
(b)
(d)
(d)