Considere uma função f: A \longrightarrow B, A_{1}, A_{2} \subset A e Y \subset B. Prove:
Se f é injetora, então f\left(A_{1} \cap A_{2}\right)=f\left(A_{1}\right) \cap f\left(A_{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma demonstração:
  • Há uma função f: A \longrightarrow B.
  • A_{1} e A_{2} são subconjuntos de A (isto é, A_{1},A_{2}\subset A).
  • Precisa-se provar que, se f é injetora, então
f\bigl(A_{1}\cap A_{2}\bigr)=f\bigl(A_{1}\bigr)\cap f\bigl(A_{2}\bigr).
Aqui a pergunta é exatamente mostrar a igualdade entre os dois conjuntos de imagem indicados, assumindo que f é injetora. Nada mais é pedido.

Passo 2

Vou lembrar duas definições fundamentais, com explicações simples (isso é importante para usar corretamente durante a prova):
Definição da imagem de um conjunto: para qualquer subconjunto S\subset A, a imagem de S por f é
f(S)=\{\,f(x)\mid x\in S\,\}.
Isto significa: um elemento y\in B pertence a f(S) exatamente quando existe algum x\in S tal que f(x)=y.
Definição de função injetora: f é injetora (ou um a um) se, sempre que f(x_{1})=f(x_{2}), então x_{1}=x_{2}. Em palavras: valores iguais da imagem vêm de um único elemento do domínio — não há duas entradas diferentes que dão a mesma saída.
Vou usar essas definições passo a passo na demonstração.

Passo 3

Mostro primeiro a inclusão que vale sem precisar de injetividade:
f\bigl(A_{1}\cap A_{2}\bigr)\subset f\bigl(A_{1}\bigr)\cap f\bigl(A_{2}\bigr).
Prova dessa inclusão, etapa por etapa:
  • Tome um elemento arbitrário y\in f\bigl(A_{1}\cap A_{2}\bigr).
  • Pela definição de imagem, existe x\in A_{1}\cap A_{2} tal que f(x)=y.
  • Como x\in A_{1}\cap A_{2}, temos x\in A_{1} e x\in A_{2}.
  • Novamente pela definição de imagem, y=f(x) com x\in A_{1} implica y\in f(A_{1}); e y=f(x) com x\in A_{2} implica y\in f(A_{2}).
  • Logo y\in f(A_{1})\cap f(A_{2}).
  • Como y foi arbitrário, concluímos a inclusão desejada.
Observação: até aqui não usei que f é injetora; essa inclusão é sempre verdadeira para qualquer função.

Passo 4

Agora preciso da outra inclusão. É aqui que a injetividade entra:
f\bigl(A_{1}\bigr)\cap f\bigl(A_{2}\bigr)\subset f\bigl(A_{1}\cap A_{2}\bigr).
Prova, passo a passo, assumindo que f é injetora:
  • Tome um elemento arbitrário y\in f(A_{1})\cap f(A_{2}).
  • Então y\in f(A_{1}) e y\in f(A_{2}).
  • Pela definição de imagem, existem x_{1}\in A_{1} e x_{2}\in A_{2} tais que f(x_{1})=y e f(x_{2})=y.
  • Portanto f(x_{1})=f(x_{2}).
  • Como f é injetora, dessa igualdade de imagens segue x_{1}=x_{2}. Chamo esse elemento comum de x (ou seja, x:=x_{1}=x_{2}).
  • Agora x\in A_{1} e x\in A_{2}, logo x\in A_{1}\cap A_{2}.
  • E f(x)=y, com x\in A_{1}\cap A_{2}, significa y\in f\bigl(A_{1}\cap A_{2}\bigr).
  • Como y foi arbitrário em f(A_{1})\cap f(A_{2}), obtemos a inclusão desejada.
A etapa crucial foi usar a injetividade para garantir que os dois preimagens x_{1} e x_{2} são o mesmo elemento, de modo que esse elemento pertence simultaneamente a A_{1} e a A_{2}.

Passo 5

Unindo as duas inclusões obtidas:
f\bigl(A_{1}\cap A_{2}\bigr)\subset f(A_{1})\cap f(A_{2}) \quad\text{e}\quad f(A_{1})\cap f(A_{2})\subset f\bigl(A_{1}\cap A_{2}\bigr),
concluímos a igualdade
f\bigl(A_{1}\cap A_{2}\bigr)=f(A_{1})\cap f(A_{2}).

Passo 6

Comentário final curto para fixar a intuição (útil na prova): sem injetividade a segunda inclusão pode falhar. Exemplo simples: seja f constante com f(1)=f(2)=a; tome A_{1}=\{1\}, A_{2}=\{2\}. Então A_{1}\cap A_{2}=\varnothing e f(A_{1}\cap A_{2})=\varnothing, mas f(A_{1})\cap f(A_{2})=\{a\}\neq\varnothing. Isso mostra por que precisamos da hipótese de injetividade.

Resposta

f\bigl(A_{1}\cap A_{2}\bigr)=f\bigl(A_{1}\bigr)\cap f\bigl(A_{2}\bigr)

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