Considere uma função
e
. Prove:
Se
é injetora, então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma demonstração:
- Há uma função
. -
e são subconjuntos de (isto é, ). - Precisa-se provar que, se
é injetora, então
Aqui a pergunta é exatamente mostrar a igualdade entre os dois conjuntos de imagem indicados, assumindo que
é injetora. Nada mais é pedido.
Passo 2
Vou lembrar duas definições fundamentais, com explicações simples (isso é importante para usar corretamente durante a prova):
Definição da imagem de um conjunto: para qualquer subconjunto
, a imagem de
por
é
Isto significa: um elemento
pertence a
exatamente quando existe algum
tal que
.
Definição de função injetora:
é injetora (ou um a um) se, sempre que
, então
. Em palavras: valores iguais da imagem vêm de um único elemento do domínio — não há duas entradas diferentes que dão a mesma saída.
Vou usar essas definições passo a passo na demonstração.
Passo 3
Mostro primeiro a inclusão que vale sem precisar de injetividade:
Prova dessa inclusão, etapa por etapa:
- Tome um elemento arbitrário
. - Pela definição de imagem, existe
tal que . - Como
, temos e . - Novamente pela definição de imagem,
com implica ; e com implica . - Logo
. - Como
foi arbitrário, concluímos a inclusão desejada.
Observação: até aqui não usei que
é injetora; essa inclusão é sempre verdadeira para qualquer função.
Passo 4
Agora preciso da outra inclusão. É aqui que a injetividade entra:
Prova, passo a passo, assumindo que
é injetora:
- Tome um elemento arbitrário
. - Então
e . - Pela definição de imagem, existem
e tais que e . - Portanto
. - Como
é injetora, dessa igualdade de imagens segue . Chamo esse elemento comum de (ou seja, ). - Agora
e , logo . - E
, com , significa . - Como
foi arbitrário em , obtemos a inclusão desejada.
A etapa crucial foi usar a injetividade para garantir que os dois preimagens
e
são o mesmo elemento, de modo que esse elemento pertence simultaneamente a
e a
.
Passo 5
Unindo as duas inclusões obtidas:
concluímos a igualdade
Passo 6
Comentário final curto para fixar a intuição (útil na prova): sem injetividade a segunda inclusão pode falhar. Exemplo simples: seja
constante com
; tome
,
. Então
e
, mas
. Isso mostra por que precisamos da hipótese de injetividade.