Considere uma função
e
. Prove:
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá uma função
, com subconjuntos
(esses não serão necessários aqui) e
. A hipótese é
A pergunta é: provar que
Passo 2
Vamos lembrar, com calma, o que significam as notações envolvidas (isto é importante para a prova).
Definição da imagem de
por
:
Isto quer dizer: para cada elemento
do conjunto
aplicamos
e guardamos o valor
; a coleção de todos esses valores forma
.
Definição da pré-imagem (ou contra-imagem) de
:
Isto quer dizer:
é o conjunto de todos os elementos de
que são levados por
para um elemento de
.
Explicando as letras:
-
e denotam elementos de . -
é o elemento de associado a . -
é um subconjunto de .
Passo 3
Estratégia direta (muito simples e habitual): suponha que exista algum elemento em
e mostre que isso contradiz a hipótese
. Ou seja, faremos uma prova por contradição, que aqui é praticamente a mesma coisa que um argumento direto a partir da definição.
Passo 4
Suponha que exista
. Pela definição de pré-imagem isso significa duas coisas simultâneas:
Como
, ao aplicar
obtemos
(pois
contém exatamente as imagens de todos os elementos de
). Assim temos
Portanto
Mas isto contradiz a hipótese de que
(um elemento não pode pertencer a um conjunto vazio). Logo a suposição de existência de
é impossível.
Passo 5
Concluímos que não existe nenhum
tal que
. Em outras palavras,
Para fixar: um exemplo concreto para ver a ideia — seja
,
e
. Então
. Se
temos
e realmente
porque não existe
com
. O raciocínio do exemplo é exatamente o mesmo da prova geral.