Considere uma função f: A \longrightarrow B, A_{1}, A_{2} \subset A e Y \subset B. Prove:
Se Y \cap f(A)=\emptyset, então f^{-1}(Y)=\emptyset.

Passo 1

O enunciado dá uma função f: A \longrightarrow B, com subconjuntos A_{1},A_{2}\subset A (esses não serão necessários aqui) e Y\subset B. A hipótese é
Y\cap f(A)=\emptyset.
A pergunta é: provar que
f^{-1}(Y)=\emptyset.

Passo 2

Vamos lembrar, com calma, o que significam as notações envolvidas (isto é importante para a prova).
Definição da imagem de A por f:
f(A)=\{\,f(a)\mid a\in A\,\}.
Isto quer dizer: para cada elemento a do conjunto A aplicamos f e guardamos o valor f(a); a coleção de todos esses valores forma f(A).
Definição da pré-imagem (ou contra-imagem) de Y:
f^{-1}(Y)=\{\,x\in A \mid f(x)\in Y\,\}.
Isto quer dizer: f^{-1}(Y) é o conjunto de todos os elementos de A que são levados por f para um elemento de Y.
Explicando as letras:
  • x e a denotam elementos de A.
  • f(x) é o elemento de B associado a x.
  • Y é um subconjunto de B.

Passo 3

Estratégia direta (muito simples e habitual): suponha que exista algum elemento em f^{-1}(Y) e mostre que isso contradiz a hipótese Y\cap f(A)=\emptyset. Ou seja, faremos uma prova por contradição, que aqui é praticamente a mesma coisa que um argumento direto a partir da definição.

Passo 4

Suponha que exista x\in f^{-1}(Y). Pela definição de pré-imagem isso significa duas coisas simultâneas:
x\in A \quad\text{e}\quad f(x)\in Y.
Como x\in A, ao aplicar f obtemos f(x)\in f(A) (pois f(A) contém exatamente as imagens de todos os elementos de A). Assim temos
f(x)\in Y \quad\text{e}\quad f(x)\in f(A).
Portanto
f(x)\in Y\cap f(A).
Mas isto contradiz a hipótese de que Y\cap f(A)=\emptyset (um elemento não pode pertencer a um conjunto vazio). Logo a suposição de existência de x\in f^{-1}(Y) é impossível.

Passo 5

Concluímos que não existe nenhum x\in A tal que f(x)\in Y. Em outras palavras,
f^{-1}(Y)=\emptyset.
Para fixar: um exemplo concreto para ver a ideia — seja A=\{1,2\}, B=\{a,b\} e f(1)=a,\;f(2)=a. Então f(A)=\{a\}. Se Y=\{b\} temos Y\cap f(A)=\emptyset e realmente f^{-1}(Y)=\emptyset porque não existe x\in A com f(x)=b. O raciocínio do exemplo é exatamente o mesmo da prova geral.

Resposta

f^{-1}(Y)=\emptyset

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