(7.15.7 - Modificada) Seja s(t)=t^3+3 t^2 a lei horária do movimento de uma partícula. (a) Estude o sinal da velocidade v(t) do corpo. (b) Estude o sinal da aceleração a(t) do corpo. (c) Calcule lim t +infty s(t) e lim t -infty s(t). (d) Utilizando as informações acima, esboce o gráfico de f. Discuta qualitativamente o movimento da partícula.

Passo 1

O enunciado dá a posição
s(t)=t^3+3t^2
e pede: (a) o sinal da velocidade v(t), (b) o sinal da aceleração a(t), (c) os limites de s(t) em ttopminfty, (d) esboçar o gráfico de s e discutir qualitativamente o movimento. Para isso vamos usar derivadas (para obter v e a), estudo de sinais, análise de extremos e de ponto de inflexão.

Passo 2

Calculamos a velocidade como derivada de s:
v(t)=s'(t)=ddtl(t^3+3t^2r)=3t^2+6t=3t(t+2)
As raízes são t=0 e t=-2. Estudando o produto 3t(t+2), concluímos que
v(t)>0 para t<-2 e para t>0,
v(t)<0 para -2<t<0.

Passo 3

A aceleração é a derivada de v:
a(t)=v'(t)=ddtl(3t^2+6tr)=6t+6=6(t+1)
Há zero em t=-1. Logo
a(t)<0 para t<-1,
a(t)>0 para t>-1.

Passo 4

Como o termo dominante de s(t) é t^3, temos
limtto+inftys(t)=+infty, limtto-inftys(t)=-infty

Passo 5

O sinal de v indica extremos de s:
em t=-2 a velocidade muda de positiva para negativa → máximo local;
em t=0 muda de negativa para positiva → mínimo local.
O zero de a em t=-1 é ponto de inflexão ( a troca de sinal).
Com isso o esboço de s(t) é: cresce até t=-2, decresce até t=0, cresce para t>0, e diverge para pminfty.
Em termos de movimento:
para t<-2 a partícula vai para frente ( v>0) desacelerando ( a<0);
entre -2 e -1 volta ( v<0) acelerando ( a<0);
entre -1 e 0 ainda volta ( v<0) mas desacelera ( a>0);
para t>0 avança ( v>0) acelerando ( a>0).

Resposta

(a) v(t)=3t(t+2). Tem v(t)>0 para t<-2 e t>0; v(t)<0 em -2<t<0.
(b) a(t)=6(t+1). Tem a(t)<0 para t<-1 e a(t)>0 para t>-1.
(c) limtto+inftys(t)=+infty e limtto-inftys(t)=-infty.
(d) Máximo local em t=-2, mínimo local em t=0, inflexão em t=-1. O gráfico cresce até -2, decresce até 0, cresce após, e descreve o movimento de ida, volta e nova ida conforme explicado acima.

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