(7.15.7 - Modificada) Seja
a lei horária do movimento de uma partícula. (a) Estude o sinal da velocidade
do corpo. (b) Estude o sinal da aceleração
do corpo. (c) Calcule
e
. (d) Utilizando as informações acima, esboce o gráfico de f. Discuta qualitativamente o movimento da partícula.
Passo 1
O enunciado dá a posição
e pede: (a) o sinal da velocidade
, (b) o sinal da aceleração
, (c) os limites de
em
, (d) esboçar o gráfico de
e discutir qualitativamente o movimento. Para isso vamos usar derivadas (para obter
e
), estudo de sinais, análise de extremos e de ponto de inflexão.
Passo 2
Calculamos a velocidade como derivada de
:
As raízes são
e
. Estudando o produto
, concluímos que
para
e para
,
para
.
Passo 3
A aceleração é a derivada de
:
Há zero em
. Logo
para
,
para
.
Passo 4
Como o termo dominante de
é
, temos
Passo 5
O sinal de
indica extremos de
:
em a velocidade muda de positiva para negativa → máximo local;
em muda de negativa para positiva → mínimo local.
O zero de em
é ponto de inflexão (
troca de sinal).
Com isso o esboço de é: cresce até
, decresce até
, cresce para
, e diverge para
.
Em termos de movimento:
para a partícula vai para frente (
) desacelerando (
);
entre e
volta (
) acelerando (
);
entre e
ainda volta (
) mas desacelera (
);
para avança (
) acelerando (
).
em
em
O zero de
Com isso o esboço de
Em termos de movimento:
para
entre
entre
para
Resposta
(a)
. Tem
para
e
;
em
.
(b) . Tem
para
e
para
.
(c) e
.
(d) Máximo local em , mínimo local em
, inflexão em
. O gráfico cresce até
, decresce até
, cresce após, e descreve o movimento de ida, volta e nova ida conforme explicado acima.
(b)
(c)
(d) Máximo local em