15 Mostre que o triângulo cujos vértices são os pontos médios dos lados de um triângulo dado é semelhante ao primeiro triângulo. Mostre que os quatro triângulos assim obtidos são, dois a dois, congruentes.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC e marca em cada lado o seu ponto médio: D em BC, E em CA e F em AB. Primeiro temos de mostrar que o triângulo DEF (o medial) é semelhante a ABC. Em seguida, perceber que ao traçar DE, EF e FD dividimos ABC em quatro triângulos (o medial DEF e os três “nos cantos” AEF, BFD, CDE) e provar que esses quatro são, dois a dois, congruentes. Vamos usar o Teorema do Segmento Médio (que diz que o segmento que une pontos médios é paralelo ao terceiro lado e tem metade do seu comprimento) e depois critério de semelhança e congruência por Lado–Ângulo–Lado.

Passo 2

No triângulo ABC, como D e E são pontos médios de BC e CA, respectivamente, pelo Teorema do Segmento Médio temos
DE ,paral<=l, AB e DE = tfrac12,AB
Analogamente,
EF ,paral<=l, BC, EF = tfrac12,BC, FD ,paral<=l, CA, FD = tfrac12,CA

Passo 3

Agora vejam que, em DEF, os ângulos correspondentes a ABC são iguais porque cada lado de DEF é paralelo ao lado oposto de ABC. Por exemplo,
ang<= DEF = ang<= ABC (pois (DEparal<=l AB) e (EFparal<=l BC)),
e o mesmo vale para os outros pares de ângulos. Além disso,
DEAB = EFBC = FDCA = tfrac12
Logo, DEF é semelhante a ABC com razão de semelhança tfrac12.

Passo 4

Os três triângulos de “canto” também são semelhantes a ABC com razão tfrac12, por critério Lado–Ângulo–Lado. Por exemplo, em AEF temos
AE = tfrac12,AC, AF = tfrac12,AB, ang<= EAF = ang<= CAB
(pois EFparal<=l BC), então triang<= AEFsimtriang<= ABC com razão tfrac12. De modo idêntico, triang<= BFDsim ABC e triang<= CDEsim ABC, ambas com razão tfrac12.

Passo 5

Como os quatro triângulos ( DEF, AEF, BFD e CDE) são semelhantes a ABC com a mesma razão tfrac12, eles são congruentes entre si (têm lados correspondentes de mesmo comprimento e ângulos iguais). Portanto, esses quatro triângulos são, dois a dois, congruentes.

Resposta

Os triângulos formados pelos pontos médios são todos semelhantes a ABC com razão tfrac12 e, consequentemente, os quatro triângulos obtidos são congruentes dois a dois.

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