15 Mostre que o triângulo cujos vértices são os pontos médios dos lados de um triângulo dado é semelhante ao primeiro triângulo. Mostre que os quatro triângulos assim obtidos são, dois a dois, congruentes.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo
e marca em cada lado o seu ponto médio:
em
,
em
e
em
. Primeiro temos de mostrar que o triângulo
(o medial) é semelhante a
. Em seguida, perceber que ao traçar
,
e
dividimos
em quatro triângulos (o medial
e os três “nos cantos”
,
,
) e provar que esses quatro são, dois a dois, congruentes. Vamos usar o Teorema do Segmento Médio (que diz que o segmento que une pontos médios é paralelo ao terceiro lado e tem metade do seu comprimento) e depois critério de semelhança e congruência por Lado–Ângulo–Lado.
Passo 2
No triângulo
, como
e
são pontos médios de
e
, respectivamente, pelo Teorema do Segmento Médio temos
Analogamente,
Passo 3
Agora vejam que, em
, os ângulos correspondentes a
são iguais porque cada lado de
é paralelo ao lado oposto de
. Por exemplo,
e o mesmo vale para os outros pares de ângulos. Além disso,
Logo,
é semelhante a
com razão de semelhança
.
Passo 4
Os três triângulos de “canto” também são semelhantes a
com razão
, por critério Lado–Ângulo–Lado. Por exemplo, em
temos
(pois
), então
com razão
. De modo idêntico,
e
, ambas com razão
.
Passo 5
Como os quatro triângulos (
,
,
e
) são semelhantes a
com a mesma razão
, eles são congruentes entre si (têm lados correspondentes de mesmo comprimento e ângulos iguais). Portanto, esses quatro triângulos são, dois a dois, congruentes.
Resposta
Os triângulos formados pelos pontos médios são todos semelhantes a
com razão
e, consequentemente, os quatro triângulos obtidos são congruentes dois a dois.