Calcule uma equação da reta tangente L^t(x0) e uma equação da reta normal L^n(x0), ao gráfico da função f(x) dada, no ponto x0 indicado.
f(x)=raizx+1x+3, , x0=1.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
f(x)=raizx+1x+3
e queremos as equações da reta tangente L^t(x0) e da reta normal L^n(x0) ao seu gráfico no ponto x0=1. Para isso precisamos de f(1) e de f'(1), usando derivação por cadeia e quociente.

Passo 2

Primeiro, avaliamo f(1):
f(1)=raiz1+11+3 =raiz24 =raiztfrac12 =1raiz2

Passo 3

Agora derivamos f(x). Seja
u(x)=x+1x+3,
então f(x)=raizu(x)=u(x)^1/2. Pela regra da cadeia e quociente:
u'(x) =(x+3)cdot1-(x+1)cdot1(x+3)^2 =2(x+3)^2,
f'(x) =12,u(x)^-1/2,u'(x) =12l(x+1x+3r)^-!1/2cdot2(x+3)^2 =1(x+3)^2raizx+1x+3
Simplificando,
f'(x) =1raizx+1,(x+3)^3/2

Passo 4

Avaliaremos em x=1:
f'(1) =1raiz1+1,(1+3)^3/2 =1raiz2cdot4^3/2 =1raiz2cdot8 =18raiz2 =raiz216

Passo 5

A reta tangente em x0=1 tem equação
y - f(1) = f'(1),(x-1)
Substituindo f(1)=tfrac1raiz2 e f'(1)=tfracraiz216,
y - 1raiz2 =raiz216(x-1)
Em forma explícita,
y =raiz216,x +l(1raiz2-raiz216r) =raiz216,x+7raiz216

Passo 6

A reta normal é perpendicular à tangente, logo sua inclinação é o negativo do recíproco de f'(1):
mn =-1f'(1) =-1tfracraiz216 =-16raiz2 =-8raiz2
Assim
y - 1raiz2 =-8raiz2,(x-1)
Em forma explícita,
y =-8raiz2,x +l(8raiz2+1raiz2r) =-8raiz2,x+17raiz22

Resposta

Reta tangente:
L^t(x)=raiz216,x+7raiz216
Reta normal:
L^n(x)=-8raiz2,x+17raiz22

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