Calcule uma equação da reta tangente L^t(x0) e uma equação da reta normal L^n(x0), ao gráfico da função f(x) dada, no ponto x0 indicado.
f(x)=sin (2 x+pi / 3), x0=0.

Passo 1

O enunciado nos pede as equações da reta tangente L^t(x0) e da reta normal L^n(x0) ao gráfico da função
f(x)=sinl(2x+tfracpi3r)
no ponto x0=0. Para isso, vamos precisar calcular o valor da função em x0 e a derivada f'(x) em x0.

Passo 2

Calcular o ponto de tangência (x0,y0).
y0 = f(0) = sinl(2cdot0 + tfracpi3r) = sinl(tfracpi3r) = raiz32

Passo 3

Encontrar a derivada f'(x). Pela regra da cadeia:
f'(x) = cosl(2x+tfracpi3r)cdot ddx(2x+tfracpi3) = 2cosl(2x+tfracpi3r)
Em x=0:
f'(0) = 2cosl(tfracpi3r) = 2cdot tfrac12 = 1

Passo 4

Escrever a equação da reta tangente com coeficiente angular mt = f'(0)=1 passando por (0,tfracraiz32). Na forma ponto-declive:
L^t(x) = y0 + mt,(x-x0) = raiz32 + 1cdot(x-0) = x + raiz32

Passo 5

Determinar a reta normal, cujo coeficiente angular é o negativo do recíproco de mt, ou seja, mn = -1. Usando o mesmo ponto:
L^n(x) = y0 + mn,(x-x0) = raiz32 - 1cdot x = -x + raiz32

Resposta

L^t(x): y = x + raiz32
L^n(x): y = -x + raiz32

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