15.6 Um motor de indução trifásico de 460 \mathrm{~V}, 60 \mathrm{~Hz}, seis polos, conectado em Y, tem os seguintes parâmetros: R_{s}=0,32 \Omega, R_{r}^{\prime}=0,18 \Omega, X_{s}=1,04 \Omega, X_{r}^{\prime}=1,6 \Omega e X_{m}=18,8 \Omega. A perda sem carga P_{\text {vazio }}, é desprezável. O torque de carga, que é proporcional ao quadrado da velocidade, é 180 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} a 1180 rpm. Para uma velocidade do motor de 850 rpm , determine (a) a demanda do torque de carga T_{L}; (b) a corrente do rotor I_{r} ;(\mathbf{c}) a tensão de alimentação do estator V_{a} ;(\mathbf{d}) a corrente de entrada do motor I_{i}; (e) a potência de entrada do motor P_{i}; (f) o escorregamento para a corrente máxima s_{a}; (g) a corrente máxima do rotor I_{r(\text { máx })}á; (h) a velocidade na corrente máxima do rotor \omega_{a}; e (i) o torque na corrente \operatorname{máxima} T_{a}.

Passo 1

Enunciado e dados (o que é dado e o que se pede).
Dado:
\begin{aligned} &\text{Tensão de linha (nominal)}\;=460\\ \text{V (Y)}\\\ &f=60\\ \text{Hz},\quad\text{pólos}=6\\\ &R_s=0{,}32\\ \Omega,\quad R'_r=0{,}18\\ \Omega\\\ &X_s=1{,}04\\ \Omega,\quad X'_r=1{,}6\\ \Omega,\quad X_m=18{,}8\\ \Omega\\\ &P_{\text{vazio}}\\ \text{desprezável}\\\ &\text{Torque de carga proporcional a } n^2:\\ T_L(1180\\ \text{rpm})=180\\ \mathrm{N\cdot m}\\\ &\text{Velocidade de operação dada: } n=850\\ \text{rpm} \end{aligned}ãóáçã
O que o problema pede (lista de perguntas):
(a) \;T_L (torque de carga) a 850\\ \text{rpm}.
(b) \;I_r (corrente do rotor referida ao estator) na operação a 850\\ \text{rpm}.
(c) \;V_a (tensão de alimentação por fase do estator usada no equivalente por fase).
(d) \;I_i (corrente de entrada por fase / corrente de linha, já que está em Y).
(e) \;P_i (potência de entrada do motor).
(f) \;s_a (escorregamento para a corrente máxima do rotor, com a mesma tensão de alimentação obtida em (c)).
(g) \;I_{r(\text{máx})}á (corrente máxima do rotor, com essa V_a).
(h) \;\omega_a (velocidade mecânica quando a corrente do rotor é máxima).
(i) \;T_a (torque correspondente à corrente máxima do rotor).
Observações: todos os cálculos serão feitos por fase no circuito equivalente referido ao estator; quando necessário converter linha/fase (ligação em Y) usarei V_{\text{fase}}=V_{\text{ll}}/\sqrt{3}. Não inicio a resolução aqui — só identifiquei claramente dados e pedidos.

Passo 2

Cálculos iniciais: velocidade síncrona, escorregamento na condição dada, conversões de velocidade/ângulo, e o torque de carga por proporcionalidade.
  1. Velocidade síncrona (em rpm):
n_s=\frac{120\,f}{\text{pólos}}=\frac{120\cdot 60}{6}=1200\\ \text{rpm}.ó
  1. Escorregamento na operação n=850\\ \text{rpm}:
s=\frac{n_s-n}{n_s}=\frac{1200-850}{1200}=\frac{350}{1200}=0{,}2916667.
  1. Velocidade angular síncrona:
\omega_s=\frac{2\pi n_s}{60}=2\pi\cdot\frac{1200}{60}=40\pi\\ \text{rad/s}\approx125{,}6637\\ \text{rad/s}.
  1. Torque de carga por proporcionalidade a n^2:
    Regra: se T\propto n^2, então
T_L(n)=T_{L0}\left(\frac{n}{n_0}\right)^2.
Aplicando T_{L0}=180\\ \mathrm{N\cdot m} a n_0=1180\\ \text{rpm} e n=850\\ \text{rpm}:
T_L = 180\left(\frac{850}{1180}\right)^2 \approx 93{,}3997\\ \mathrm{N\cdot m}.
Portanto, já temos (a):
T_L\approx 93{,}40\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 3

Relação torque ↔ corrente do rotor (ensinar a fórmula e aplicá-la para obter I_r).
Explicação didática curta:
  • No modelo por fase, a potência que atravessa a resistência R'_r/s (refere-se ao rotor) é a potência do entreferro (air-gap power) por fase. A potência convertida em mecânica (por fase) é essa potência multiplicada por (1-s).
  • O torque elétrico desenvolvido \;T_e relaciona-se com a potência mecânica desenvolvida P_m por
T_e=\frac{P_m}{\omega_m},
onde \omega_m=(1-s)\omega_s é a velocidade mecânica do rotor.
  • Fazendo as manipulações (padrão em máquinas), chega-se à fórmula útil que liga torque e corrente do rotor (referido ao estator):
T_e=\frac{3\,{I_r}^2 R'_r}{s\,\omega_s}.
Aqui: I_r é o módulo da corrente do rotor referida ao estator (por fase), R'_r é a resistência do rotor referida e \omega_s é a velocidade síncrona em rad/s.
Agora aplicamos para achar I_r com T_e=T_L e s conhecidos:
I_r=\sqrt{\frac{T_e\,s\,\omega_s}{3\,R'_r}}.
Substituindo números:
I_r=\sqrt{\frac{93{,}3997\cdot 0{,}2916667\cdot 125{,}6637061}{3\cdot 0{,}18}} \approx 79{,}65\\ \text{A}.
Portanto (b):
I_r\approx 79{,}65\\ \text{A}.

Passo 4

Obter o equivalente de Thevenin visto pelo circuito do rotor (isso facilita achar V_{th} e Z_{th} e depois relacionar com V_a). Vou ensinar como obter V_{th} e Z_{th}.
No circuito por fase, temos série R_s+jX_s alimentando o ramo paralelo jX_m (ramo magnetizante) em paralelo com a carga rotor referida. O teorema de Thevenin visto dos terminais do rotor dá:
V_{th}=V_a\cdot\frac{jX_m}{R_s+jX_s+jX_m}
e
Z_{th}=(R_s+jX_s)\parallel jX_m=\frac{(R_s+jX_s)\,jX_m}{R_s+jX_s+jX_m}.
Essas expressões significam: primeiro calcule a divisão de tensão entre a série (R_s+jX_s) e o ramo jX_m para achar a tensão equivalente aplicada ao circuito rotor+Z_th; Z_{th} é a impedância equivalente em série vista pelo rotor.
Agora calculo valores numéricos (fazendo as contas complexas passo a passo):
  1. Calcular denominador comum:
R_s+jX_s+jX_m=0{,}32 + j(1{,}04+18{,}8)=0{,}32 + j19{,}84.
  1. V_{th} em função de V_a:
\frac{jX_m}{0{,}32 + j19{,}84} =\frac{372{,}992 + j6{,}016}{393{,}728}\approx 0{,}946999 + j0{,}015286,
logo
V_{th}\approx (0{,}946999 + j0{,}015286)\,V_a.
O módulo dessa razão é |k| \approx 0{,}9466 (ou seja V_{th}\approx0{,}9466\;V_a em módulo) e o ângulo é pequeno (próximo de 0{,}93^\circ).
  1. Impedância de Thevenin:
Z_{th}=\frac{(0{,}32+j1{,}04)\,j18{,}8}{0{,}32+j19{,}84} \approx 0{,}28749 + j0{,}99194\\ \Omega.
Chamando R_{th}=\Re(Z_{th}) e X_{th}=\Im(Z_{th}), temos
R_{th}\approx 0{,}28749\\ \Omega,\qquad X_{th}\approx 0{,}99194\\ \Omega.
Estes resultados são usados em seguida para relacionar V_a com I_r.

Passo 5

Encontrar V_a (tensão de alimentação por fase) necessária para que, com o circuito, o rotor tenha a corrente I_r que produz o torque da carga.
A corrente do rotor (por fase), em termos de V_{th} e impedâncias, é:
I_r=\frac{V_{th}}{R'_r/s + j(X'_r+X_{th}) + R_{th}\,?}
mais precisamente a denominação completa é
I_r=\frac{V_{th}}{(R_{th}+R'_r/s) + j(X_{th}+X'_r)}.
Portanto o módulo de V_{th} necessário é
|V_{th}| = |I_r|\cdot\sqrt{\big(R_{th}+\tfrac{R'_r}{s}\big)^2 + (X_{th}+X'_r)^2 }.
Primeiro calcule as somas:
\frac{R'_r}{s}=\frac{0{,}18}{0{,}2916667}\approx 0{,}6171429\\ \Omega.
R_{th}+\frac{R'_r}{s}\approx 0{,}28749+0{,}6171429=0{,}9046329\\ \Omega,
X_{th}+X'_r\approx 0{,}99194+1{,}6=2{,}59194\\ \Omega.
Módulo do denominador:
\big|Z_{\text{total}}\big|=\sqrt{0{,}9046329^2 + 2{,}59194^2}\approx 2{,}74546\\ \Omega.
Logo
|V_{th}|=|I_r|\,|Z_{\text{total}}| \approx 79{,}6526\cdot 2{,}74546 \approx 218{,}696\\ \text{V}.
Recall que V_{th} é aproximadamente 0{,}9466\,V_a em módulo, portanto:
V_a=\frac{|V_{th}|}{0{,}9466}\approx \frac{218{,}696}{0{,}9466}\approx 231{,}00\\ \text{V (por fase)}.
Como o motor está ligado em Y, a tensão linha a linha correspondente seria
V_{LL}=\sqrt{3}\,V_a\approx 1{,}73205\cdot231{,}00\approx 400{,}3\\ \text{V}.
Interpretação: para a carga dada e para o motor atingir 850\\ \text{rpm}, a tensão por fase necessária é \approx231{,}0\\ \text{V} (ou linha-linha \approx400{,}3\\ \text{V}). Isso responde (c).

Passo 6

Calcular a corrente de entrada por fase I_i (corrente de estator) e sua magnitude. Método: usando a representação de Thevenin, a corrente de entrada por fase é a soma fasorial da corrente do rotor referida I_r e da corrente do ramo magnetizante I_m:
I_i = I_r + I_m,\quad I_m=\frac{V_{th}}{jX_m}.
Já temos |I_r| e o ângulo de I_r é dado por
\angle I_r = \angle V_{th} - \angle Z_{\text{total}}.
Usando os valores obtidos:
  • A razão complexa para V_{th}/V_a tem pequeno ângulo \approx 0{,}9256^\circ, então tomamos \angle V_{th}\approx 0{,}9256^\circ (se tomarmos \angle V_a=0^\circ).
  • \angle Z_{\text{total}}=\arctan\!\big(\frac{2{,}59194}{0{,}904633}\big)\approx 70{,}782^\circ.
    Logo
\angle I_r\approx 0{,}9256^\circ - 70{,}782^\circ \approx -69{,}856^\circ.
Componentes retangulares:
I_r = 79{,}6526\angle(-69{,}856^\circ)\approx 27{,}424 - j74{,}836\\ \text{A}.
Corrente magnetizante:
|I_m|=\frac{|V_{th}|}{X_m}=\frac{218{,}696}{18{,}8}\approx 11{,}6355\\ \text{A},
ângulo \angle I_m=\angle V_{th}-90^\circ\approx 0{,}9256^\circ-90^\circ\approx -89{,}0744^\circ.
Então:
I_m\approx 0{,}1862 - j11{,}634\\ \text{A}.
Soma fasorial:
I_i=I_r+I_m\approx (27{,}424+0{,}1862) + j(-74{,}836-11{,}634) \approx 27{,}610 - j86{,}470\\ \text{A}.
Módulo:
|I_i|=\sqrt{27{,}610^2 + 86{,}470^2}\approx 90{,}77\\ \text{A}.
Como está em Y, a corrente de linha é igual à corrente de fase, então (d):
I_i\approx 90{,}77\\ \text{A}.

Passo 7

Potência de entrada P_i.
Usamos a expressão em fasores:
P_i=3\operatorname{Re}\{V_{\text{fase}} I_i^*\},
onde V_{\text{fase}}=V_a\angle 0^\circ e I_i^* é o conjugado de I_i.
Já temos V_a\approx 231{,}00\\ \text{V} e I_i\approx 27{,}610 - j86{,}470. Assim
V_{\text{fase}}I_i^*=231{,}00\cdot(27{,}610 + j86{,}470),
a parte real por fase é 231{,}00\cdot 27{,}610\approx 6{,}379{,}46\\ \text{W}. Logo, potência total:
P_i=3\cdot 6{,}379{,}46 \approx 19{,}138\\ \text{W}\approx 19{,}14\\ \text{kW}.
(Verificação física: a potência de entrada deve alimentar potência no entreferro P_{ag} e perdas ôhmicas no estator; diferenças numéricas menores aparecem por arredondamentos, mas esta é a potência de entrada obtida diretamente por fasor.)
Portanto (e):
P_i\approx 19{,}14\\ \text{kW}.

Passo 8

Determinar o escorregamento para que a corrente do rotor seja máxima ( s_a) — raciocínio físico e matemático.
Raciocínio didático:
  • Com V_{th} fixo (portanto com V_a fixo da parte (c)), a corrente do rotor por fase é
I_r=\frac{V_{th}}{(R_{th}+R'_r/s)+j(X_{th}+X'_r)}.
  • A magnitude |I_r| é inversamente proporcional ao módulo do denominador:
|I_r|=\frac{|V_{th}|}{\sqrt{(R_{th}+R'_r/s)^2 + (X_{th}+X'_r)^2}}.
  • Note que R_{th}+R'_r/s diminui monotonamente quando s aumenta (porque R'_r/s diminui quando s cresce? atenção: R'_r/s é R'_r dividido por s — se s cresce, o valor R'_r/s decresce, logo a soma com R_{th} também decresce). Assim o denominador diminui quando s aumenta, fazendo |I_r| aumentar com s. Portanto |I_r| é função crescente de s no intervalo (0,1].
  • Assim a corrente do rotor alcançará seu máximo físico para s máximo possível, que é s=1 (condição de rotor bloqueado/partida).
Conclusão (f):
s_a=1.

Passo 9

Corrente máxima do rotor I_{r(\text{máx})}á quando s=1 (usando o mesmo V_{th} obtido em (5)).
Com s=1, a impedância total vista por V_{th} é
Z_{\text{tot},s=1}=(R_{th}+R'_r)+j(X_{th}+X'_r).
Numérico:
R_{th}+R'_r=0{,}28749+0{,}18=0{,}46749\\ \Omega,
X_{th}+X'_r=0{,}99194+1{,}6=2{,}59194\\ \Omega,
|Z_{\text{tot},s=1}|=\sqrt{0{,}46749^2 + 2{,}59194^2}\approx 2{,}63320\\ \Omega.
Logo
I_{r(\text{máx})}=\frac{|V_{th}|}{|Z_{\text{tot},s=1}|} =\frac{218{,}696}{2{,}63320}\approx 83{,}06\\ \text{A}.á
Portanto (g):
I_{r(\text{máx})}\approx 83{,}06\\ \text{A}.á

Passo 10

Velocidade mecânica na condição de corrente máxima (i.e., para s_a=1).
Se s=1, então n=(1-s)n_s=0 rpm — o rotor está parado (condição de bloqueio). A velocidade mecânica (rad/s) é
\omega_a=\frac{2\pi n}{60}=0\\ \text{rad/s}.
Portanto (h):
\omega_a=0\\ \text{rad/s}.

Passo 11

Torque correspondente à corrente máxima T_a (usar a fórmula do passo 3 com s=1 e I_{r(\text{máx})}á).
Fórmula:
T_a=\frac{3\,I_{r(\text{máx})}^2 R'_r}{s_a\,\omega_s}.á
Com s_a=1, I_{r(\text{máx})}\approx83{,}06\\ \text{A}á, \omega_s\approx125{,}6637\\ \text{rad/s}:
T_a=\frac{3\cdot 83{,}06^2\cdot 0{,}18}{1\cdot 125{,}6637}\approx 29{,}66\\ \mathrm{N\cdot m}.
Portanto (i):
T_a\approx 29{,}66\\ \mathrm{N\cdot m}.
(Faça atenção: esse torque é bem menor que o torque de carga em 850\\ \text{rpm} — isso só indica que, com a tensão V_a que fixamos para manter 850 rpm, o torque de partida no bloqueado é baixo devido às reatâncias do circuito; é um resultado físico consistente.)

Resposta

(a) \;T_L \approx 93{,}40\\ \mathrm{N\cdot m}
(b) \;I_r \approx 79{,}65\\ \mathrm{A}
(c) \;V_a \approx 231{,}0\\ \mathrm{V} (fase), correspondente a V_{LL}\approx 400{,}3\\ \mathrm{V}
(d) \;I_i \approx 90{,}77\\ \mathrm{A}
(e) \;P_i \approx 19{,}14\\ \mathrm{kW}
(f) \;s_a = 1
(g) \;I_{r(\text{máx})} \approx 83{,}06\\ \mathrm{A}á
(h) \;\omega_a = 0\\ \mathrm{rad/s}
(i) \;T_a \approx 29{,}66\\ \mathrm{N\cdot m}

Exercícios relacionados