15.6 Um motor de indução trifásico de 460 \mathrm{~V}, 60 \mathrm{~Hz}, seis polos, conectado em Y, tem os seguintes parâmetros: R_{s}=0,32 \Omega, R_{r}^{\prime}=0,18 \Omega, X_{s}=1,04 \Omega, X_{r}^{\prime}=1,6 \Omega e X_{m}=18,8 \Omega. A perda sem carga P_{\text {vazio }}, é desprezável. O torque de carga, que é proporcional ao quadrado da velocidade, é 180 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} a 1180 rpm. Para uma velocidade do motor de 850 rpm , determine (a) a demanda do torque de carga T_{L}; (b) a corrente do rotor I_{r} ;(\mathbf{c}) a tensão de alimentação do estator V_{a} ;(\mathbf{d}) a corrente de entrada do motor I_{i}; (e) a potência de entrada do motor P_{i}; (f) o escorregamento para a corrente máxima s_{a}; (g) a corrente máxima do rotor I_{r(\text { máx })}; (h) a velocidade na corrente máxima do rotor \omega_{a}; e (i) o torque na corrente \operatorname{máxima} T_{a}.
Passo 1
Enunciado e dados (o que é dado e o que se pede).
Dado:
\begin{aligned} &\text{Tensão de linha (nominal)}\;=460\\ \text{V (Y)}\\\ &f=60\\ \text{Hz},\quad\text{pólos}=6\\\ &R_s=0{,}32\\ \Omega,\quad R'_r=0{,}18\\ \Omega\\\ &X_s=1{,}04\\ \Omega,\quad X'_r=1{,}6\\ \Omega,\quad X_m=18{,}8\\ \Omega\\\ &P_{\text{vazio}}\\ \text{desprezável}\\\ &\text{Torque de carga proporcional a } n^2:\\ T_L(1180\\ \text{rpm})=180\\ \mathrm{N\cdot m}\\\ &\text{Velocidade de operação dada: } n=850\\ \text{rpm} \end{aligned}
O que o problema pede (lista de perguntas):
(a) \;T_L (torque de carga) a 850\\ \text{rpm}.
(b) \;I_r (corrente do rotor referida ao estator) na operação a 850\\ \text{rpm}.
(c) \;V_a (tensão de alimentação por fase do estator usada no equivalente por fase).
(d) \;I_i (corrente de entrada por fase / corrente de linha, já que está em Y).
(e) \;P_i (potência de entrada do motor).
(f) \;s_a (escorregamento para a corrente máxima do rotor, com a mesma tensão de alimentação obtida em (c)).
(g) \;I_{r(\text{máx})} (corrente máxima do rotor, com essa V_a).
(h) \;\omega_a (velocidade mecânica quando a corrente do rotor é máxima).
(i) \;T_a (torque correspondente à corrente máxima do rotor).
Observações: todos os cálculos serão feitos por fase no circuito equivalente referido ao estator; quando necessário converter linha/fase (ligação em Y) usarei V_{\text{fase}}=V_{\text{ll}}/\sqrt{3}. Não inicio a resolução aqui — só identifiquei claramente dados e pedidos.
Passo 2
Cálculos iniciais: velocidade síncrona, escorregamento na condição dada, conversões de velocidade/ângulo, e o torque de carga por proporcionalidade.
Relação torque ↔ corrente do rotor (ensinar a fórmula e aplicá-la para obter I_r).
Explicação didática curta:
No modelo por fase, a potência que atravessa a resistência R'_r/s (refere-se ao rotor) é a potência do entreferro (air-gap power) por fase. A potência convertida em mecânica (por fase) é essa potência multiplicada por (1-s).
O torque elétrico desenvolvido \;T_e relaciona-se com a potência mecânica desenvolvida P_m por
T_e=\frac{P_m}{\omega_m},
onde \omega_m=(1-s)\omega_s é a velocidade mecânica do rotor.
Fazendo as manipulações (padrão em máquinas), chega-se à fórmula útil que liga torque e corrente do rotor (referido ao estator):
T_e=\frac{3\,{I_r}^2 R'_r}{s\,\omega_s}.
Aqui: I_r é o módulo da corrente do rotor referida ao estator (por fase), R'_r é a resistência do rotor referida e \omega_s é a velocidade síncrona em rad/s.
Agora aplicamos para achar I_r com T_e=T_L e s conhecidos:
Obter o equivalente de Thevenin visto pelo circuito do rotor (isso facilita achar V_{th} e Z_{th} e depois relacionar com V_a). Vou ensinar como obter V_{th} e Z_{th}.
No circuito por fase, temos série R_s+jX_s alimentando o ramo paralelo jX_m (ramo magnetizante) em paralelo com a carga rotor referida. O teorema de Thevenin visto dos terminais do rotor dá:
Essas expressões significam: primeiro calcule a divisão de tensão entre a série (R_s+jX_s) e o ramo jX_m para achar a tensão equivalente aplicada ao circuito rotor+Z_th; Z_{th} é a impedância equivalente em série vista pelo rotor.
Agora calculo valores numéricos (fazendo as contas complexas passo a passo):
Interpretação: para a carga dada e para o motor atingir 850\\ \text{rpm}, a tensão por fase necessária é \approx231{,}0\\ \text{V} (ou linha-linha \approx400{,}3\\ \text{V}). Isso responde (c).
Passo 6
Calcular a corrente de entrada por fase I_i (corrente de estator) e sua magnitude. Método: usando a representação de Thevenin, a corrente de entrada por fase é a soma fasorial da corrente do rotor referida I_r e da corrente do ramo magnetizante I_m:
A razão complexa para V_{th}/V_a tem pequeno ângulo \approx 0{,}9256^\circ, então tomamos \angle V_{th}\approx 0{,}9256^\circ (se tomarmos \angle V_a=0^\circ).
\angle Z_{\text{total}}=\arctan\!\big(\frac{2{,}59194}{0{,}904633}\big)\approx 70{,}782^\circ.
Logo
(Verificação física: a potência de entrada deve alimentar potência no entreferro P_{ag} e perdas ôhmicas no estator; diferenças numéricas menores aparecem por arredondamentos, mas esta é a potência de entrada obtida diretamente por fasor.)
Portanto (e):
P_i\approx 19{,}14\\ \text{kW}.
Passo 8
Determinar o escorregamento para que a corrente do rotor seja máxima (s_a) — raciocínio físico e matemático.
Raciocínio didático:
Com V_{th} fixo (portanto com V_a fixo da parte (c)), a corrente do rotor por fase é
Note que R_{th}+R'_r/s diminui monotonamente quando s aumenta (porque R'_r/s diminui quando s cresce? atenção: R'_r/s é R'_r dividido por s — se s cresce, o valor R'_r/s decresce, logo a soma com R_{th} também decresce). Assim o denominador diminui quando s aumenta, fazendo |I_r| aumentar com s. Portanto |I_r| é função crescente de s no intervalo (0,1].
Assim a corrente do rotor alcançará seu máximo físico para s máximo possível, que é s=1 (condição de rotor bloqueado/partida).
Conclusão (f):
s_a=1.
Passo 9
Corrente máxima do rotor I_{r(\text{máx})}á quando s=1 (usando o mesmo V_{th} obtido em (5)).
(Faça atenção: esse torque é bem menor que o torque de carga em 850\\ \text{rpm} — isso só indica que, com a tensão V_a que fixamos para manter 850 rpm, o torque de partida no bloqueado é baixo devido às reatâncias do circuito; é um resultado físico consistente.)