(15 pontos, 5 cada letra) Dados os vetores
\mathbf{a}=\langle 3,0,1\rangle e \mathbf{b}=\langle-2,3,4\rangle encontre:
\mathbf{a} \times \mathbf{b} (produto vetorial)

Passo 1

O enunciado dá os vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} e pede o produto vetorial entre eles. Dados:
\mathbf{a}=\langle 3,0,1\rangle,\qquad \mathbf{b}=\langle -2,3,4\rangle.
O que é pedido: calcular \mathbf{a}\times\mathbf{b}.

Passo 2

O produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} é um vetor em \mathbb{R}^3 que é perpendicular a \mathbf{a} e a \mathbf{b}; sua direção segue a regra da mão direita e seu módulo vale a área do paralelogramo gerado por \mathbf{a} e \mathbf{b}.
Uma forma prática de calcular é usar a expansão por determinante com os vetores unitários \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}:
\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ a_1 & a_2 & a_3 \\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix},
onde \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3). Isso gera a forma componente a componente abaixo.

Passo 3

A forma componente a componente do produto vetorial é:
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\langle a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1\rangle.
Aqui cada símbolo representa:
  • a_1,a_2,a_3 são as componentes de \mathbf{a};
  • b_1,b_2,b_3 são as componentes de \mathbf{b}.
No nosso caso: a_1=3, a_2=0, a_3=1; b_1=-2, b_2=3, b_3=4.

Passo 4

Calcular componente a componente, substituindo os valores:
Componente x (primeira):
a_2b_3-a_3b_2 = 0\cdot 4 - 1\cdot 3 = 0 - 3 = -3.
Componente y (segunda):
a_3b_1-a_1b_3 = 1\cdot (-2) - 3\cdot 4 = -2 - 12 = -14.
Componente z (terceira):
a_1b_2-a_2b_1 = 3\cdot 3 - 0\cdot (-2) = 9 - 0 = 9.

Passo 5

Montando as componentes obtidas, o produto vetorial é
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\langle -3,-14,9\rangle.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): o produto deve ser ortogonal a \mathbf{a} e \mathbf{b}. Verificar \mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) e \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}):
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) = 3\cdot(-3)+0\cdot(-14)+1\cdot 9 = -9+0+9 = 0,
\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) = (-2)\cdot(-3)+3\cdot(-14)+4\cdot 9 = 6-42+36 = 0.
Como ambos produtos escalares deram zero, o resultado está consistente.

Resposta

\langle -3,-14,9\rangle

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