(15 pontos, 5 cada letra) Dados os vetores
\mathbf{a}=\langle 3,0,1\rangle e \mathbf{b}=\langle-2,3,4\rangle encontre:
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} (produto escalar);

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores e pede o produto escalar:
\mathbf{a}=\langle 3,0,1\rangle, \mathbf{b}=\langle -2,3,4\rangle.
A pergunta é calcular \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}.

Passo 2

Definição e fórmula do produto escalar em \mathbb{R}^3: se \mathbf{a}=\langle a_1,a_2,a_3\rangle e \mathbf{b}=\langle b_1,b_2,b_3\rangle, então
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Aqui a_1,a_2,a_3 são as componentes do vetor \mathbf{a} (os números que o definem nas direções x,y,z) e b_1,b_2,b_3 são as componentes de \mathbf{b}. O produto escalar combina cada componente correspondente e soma os resultados.
Observação intuitiva rápida: o produto escalar também pode ser escrito como \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre os vetores; se o escalar for negativo, o ângulo é obtuso.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos vetores dados, identificando as componentes:
a_1=3, a_2=0, a_3=1;
b_1=-2, b_2=3, b_3=4.
Calcule cada produto componente a componente:
a_1b_1 = 3\cdot(-2) = -6,
a_2b_2 = 0\cdot 3 = 0,
a_3b_3 = 1\cdot 4 = 4.

Passo 4

Some os resultados parciais para obter o produto escalar:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = -6 + 0 + 4 = -2.
Interpretação rápida: o resultado negativo indica que o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b} é obtuso (maior que 90^\circ).

Resposta

-2

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