(15 pontos)
Determine as equações paramétricas e simétricas da reta que passa pelos pontos A(2,5,-3) e B(3,-1,2). Qual a intersecção dessa reta com o plano y z ?
Passo 1
O enunciado fornece dois pontos no espaço e pede duas coisas:
Determinar as equações paramétricas e as equações simétricas da reta que passa por A(2,5,-3) e B(3,-1,2).
Determinar a interseção dessa reta com o plano y z.
Informações dadas (pegas do enunciado):
A=(2,5,-3),\qquad B=(3,-1,2).
As perguntas específicas são:
Equações paramétricas da reta AB.
Equações simétricas da mesma reta.
Interseção da reta com o plano y z (ou seja, com o plano onde x=0).
Passo 2
Vou encontrar o vetor diretor da reta que passa por A e B. O vetor diretor \mathbf{v} é obtido subtraindo as coordenadas de A de B:
Igualando essas expressões obtemos a forma simétrica da reta:
\frac{x-2}{1}=\frac{y-5}{-6}=\frac{z+3}{5}.
Observação: pode-se simplificar escrevendo sem o divisor 1 na primeira fração, mas escrevi explicitamente a componente do vetor diretor para ficar claro.
Passo 5
Interseção com o plano y z: o plano y z é o conjunto dos pontos com x=0. Para achar a interseção, imponho x=0 nas equações paramétricas e resolvo para t:
0=2+t \quad\Rightarrow\quad t=-2.
Agora substituo t=-2 nas outras paramétricas para obter y e z:
y=5-6(-2)=5+12=17,
z=-3+5(-2)=-3-10=-13.
Portanto a interseção é o ponto (0,17,-13).
Passo 6
Verificação rápida (checape mental): com t=-2 a coordenada x fica 2+(-2)=0 (ok), a y ficou 17 e z ficou -13. Assim o ponto realmente pertence tanto à reta quanto ao plano x=0.