(15 pontos)
Determine as equações paramétricas e simétricas da reta que passa pelos pontos A(2,5,-3) e B(3,-1,2). Qual a intersecção dessa reta com o plano y z ?

Passo 1

O enunciado fornece dois pontos no espaço e pede duas coisas:
  • Determinar as equações paramétricas e as equações simétricas da reta que passa por A(2,5,-3) e B(3,-1,2).
  • Determinar a interseção dessa reta com o plano y z.
Informações dadas (pegas do enunciado):
A=(2,5,-3),\qquad B=(3,-1,2).
As perguntas específicas são:
  1. Equações paramétricas da reta AB.
  2. Equações simétricas da mesma reta.
  3. Interseção da reta com o plano y z (ou seja, com o plano onde x=0).

Passo 2

Vou encontrar o vetor diretor da reta que passa por A e B. O vetor diretor \mathbf{v} é obtido subtraindo as coordenadas de A de B:
\mathbf{v}= \overrightarrow{AB}=B-A=(3-2,\,-1-5,\,2-(-3)).
Calculemos cada componente:
3-2=1,\qquad -1-5=-6,\qquad 2-(-3)=5.
Portanto
\mathbf{v}=(1,\,-6,\,5).
Explicação rápida do porquê: o vetor diretor aponta na direção da reta; deslocar o ponto A por esse vetor leva ao ponto B.

Passo 3

Equações paramétricas: a forma vetorial de uma reta que passa por um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) e tem vetor diretor \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) é
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0+t\mathbf{v},
onde \mathbf{r}_0 é o vetor posição de P_0 e t é o parâmetro. Em coordenadas isso dá as equações paramétricas
x=x_0+v_x t,\qquad y=y_0+v_y t,\qquad z=z_0+v_z t.
Aqui escolho P_0=A=(2,5,-3) e \mathbf{v}=(1,-6,5). Logo as equações paramétricas são
x=2+1\cdot t,\qquad y=5+(-6)\cdot t,\qquad z=-3+5\cdot t.
Para ficar mais limpo escrevo
x=2+t,\qquad y=5-6t,\qquad z=-3+5t.
Comentário: t varia em \mathbb{R}. Quando t=0 estamos em A; quando t=1 chegamos a B.

Passo 4

Equações simétricas: a ideia é eliminar o parâmetro t nas equações paramétricas. Das paramétricas temos
t=x-2,\qquad t=\frac{y-5}{-6},\qquad t=\frac{z+3}{5}.
Igualando essas expressões obtemos a forma simétrica da reta:
\frac{x-2}{1}=\frac{y-5}{-6}=\frac{z+3}{5}.
Observação: pode-se simplificar escrevendo sem o divisor 1 na primeira fração, mas escrevi explicitamente a componente do vetor diretor para ficar claro.

Passo 5

Interseção com o plano y z: o plano y z é o conjunto dos pontos com x=0. Para achar a interseção, imponho x=0 nas equações paramétricas e resolvo para t:
0=2+t \quad\Rightarrow\quad t=-2.
Agora substituo t=-2 nas outras paramétricas para obter y e z:
y=5-6(-2)=5+12=17,
z=-3+5(-2)=-3-10=-13.
Portanto a interseção é o ponto (0,17,-13).

Passo 6

Verificação rápida (checape mental): com t=-2 a coordenada x fica 2+(-2)=0 (ok), a y ficou 17 e z ficou -13. Assim o ponto realmente pertence tanto à reta quanto ao plano x=0.

Resposta

x=2+t,\; y=5-6t,\; z=-3+5t
\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-5}{-6}=\dfrac{z+3}{5}
(0,17,-13)

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