- (15 pontos) Dados a reta
e o plano
, verifique
Ponno.
(a) se o ponto
pertence à reta
(b) se o ponto
pertence ao plano
(c) se a reta
está contida no plano
.
(a) se o ponto
(b) se o ponto
(c) se a reta
Passo 1
O enunciado dá a reta
e o plano
Precisamos verificar:
– (a) se está em
usando a equação paramétrica;
– (b) se está em
substituindo as coordenadas na equação do plano;
– (c) se está contida em
, checando se o vetor diretor de
é ortogonal ao normal de
e se um ponto de
satisfaz
.
– (a) se
– (b) se
– (c) se
Passo 2
Para (a), igualamos coordenadas de
à equação de
:
Da primeira e da segunda vem
de ambos, e a terceira já é satisfeita. Logo existe
que gera
em
, então
.
Passo 3
Para (b), substituímos
,
,
em
:
Como não satisfaz a equação do plano,
.
Passo 4
Para (c), tomamos o vetor diretor de
,
, e o normal de
,
.
Calculamos
Calculamos
logo
é paralelo ao plano. Além disso, o ponto inicial de
,
, satisfaz
portanto
. Esses dois fatos implicam
.
Resposta
(a) sim
(b) não
(c) sim
(b) não
(c) sim