1. (15 pontos) Dados a reta r:(x, y, z)=(1,0,0)+t(2,-1,0) e o plano pi: x+2 y+3 z=1, verifique Ponno.
    (a) se o ponto P(3,-1,0) pertence à reta r
    (b) se o ponto P(5,3,0) pertence ao plano pi
    (c) se a reta r está contida no plano pi.

Passo 1

O enunciado dá a reta
r: (x,y,z) = (1,0,0) + t,(2,-1,0)
e o plano
pi: x + 2y + 3z = 1
Precisamos verificar:
– (a) se P(3,-1,0) está em r usando a equação paramétrica;
– (b) se P(5,3,0) está em pi substituindo as coordenadas na equação do plano;
– (c) se r está contida em pi, checando se o vetor diretor de r é ortogonal ao normal de pi e se um ponto de r satisfaz pi.

Passo 2

Para (a), igualamos coordenadas de P(3,-1,0) à equação de r:
1 + 2t = 3, 0 - t = -1, 0 = 0
Da primeira e da segunda vem t=1 de ambos, e a terceira já é satisfeita. Logo existe t=1 que gera P em r, então Pin r.

Passo 3

Para (b), substituímos x=5, y=3, z=0 em pi:
5 + 2cdot3 + 3cdot0 = 5 + 6 + 0 = 11 neq 1
Como não satisfaz a equação do plano, Pnotin pi.

Passo 4

Para (c), tomamos o vetor diretor de r, v = (2,-1,0), e o normal de pi, n=(1,2,3).
Calculamos
vcdot n = 2cdot1 + (-1)cdot2 + 0cdot3 = 2 - 2 + 0 = 0,
logo v é paralelo ao plano. Além disso, o ponto inicial de r, P0=(1,0,0), satisfaz
1 + 2cdot0 + 3cdot0 = 1,
portanto P0in pi. Esses dois fatos implicam rsubset pi.

Resposta

(a) sim
(b) não
(c) sim

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