1. (15 pontos) Determine a equação geral do plano que contém o ponto A(1,-2,2) e é paralelo aos vetores u=(0,1,0) e v=(1,2,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que contém o ponto A(1,-2,2) e é paralelo aos vetores u=(0,1,0) e v=(1,2,1). Para isso precisamos encontrar um vetor normal ao plano (perpendicular a u e v) por meio do produto vetorial, e em seguida usar a fórmula do plano dado um ponto e um normal.

Passo 2

O vetor normal n é obtido por
n ;=;utimesv
e, componente a componente,
n=l(u2v3-u3v2,;u3v1-u1v3,;u1v2-u2v1r)
Como u=(0,1,0) e v=(1,2,1), temos
n=(1cdot1-0cdot2,;0cdot1-0cdot1,;0cdot2-1cdot1)=(1,0,-1)

Passo 3

A equação geral de um plano com vetor normal n=(n1,n2,n3) passando por (x0,y0,z0) é
n1(x-x0)+n2(y-y0)+n3(z-z0)=0
Aqui n=(1,0,-1) e (x0,y0,z0)=(1,-2,2), logo
1,(x-1)+0,(y+2)-1,(z-2)=0
que simplifica para
x - z + 1 = 0

Resposta

A equação geral do plano é
x - z + 1 = 0

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