(15 pontos) Encontre os valores de x onde f assume máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo.
f(x)=1-(x-3)^{2 / 3} ; \quad[2,11]

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de
f(x) = 1 - (x-3)^{2/3}
no intervalo [2,11]. O conteúdo é calor de extremos em intervalo fechado: vamos calcular a derivada, encontrar pontos críticos e avaliar também as extremidades.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x) = -\frac{2}{3}(x-3)^{-1/3}.
Observe que f'(x)=0 não tem solução (o fator (x-3)^{-1/3} nunca é zero), mas f' é indefinida em x=3. Logo, o único ponto crítico interno é x=3.

Passo 3

Agora avaliamos f em x=2, x=3 e x=11:
f(2) = 1 - (-1)^{2/3} = 1 - 1 = 0,
f(3) = 1 - 0^{2/3} = 1,
f(11) = 1 - (8)^{2/3} = 1 - 4 = -3.

Passo 4

Comparando os valores:
  • f(3)=1 é o maior de todos, logo é o máximo absoluto.
  • f(11)=-3 é o menor de todos, logo é o mínimo absoluto.

Resposta

O máximo absoluto ocorre em x=3 com valor f(3)=1.
O valor mínimo absoluto de f é -3, alcançado em x=11.

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