Mostre que as seguintes funções NÃO são deriváveis em c.
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{3}+3 & \text { se } x \leq 1 \\\\ -x+5, & \text { se } x>1\end{array}, c=1 ;\right.

Passo 1

O enunciado define
f(x)= \begin{cases} x^{3}+3,&\text{se }x\le1,\\\\ -\,x+5,&\text{se }x>1, \end{cases} \quad c=1
e pede para mostrar que f não é derivável em x=1. Para isso, vamos usar a definição de derivada como limite do quociente incremental e comparar as derivadas pelas esquerdas e pela direita em x=1.

Passo 2

Calcular a derivada à esquerda em x=1:
f'_{-}(1)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}.
Para h<0 temos 1+h\le1, logo usamos f(x)=x^3+3. Como f(1)=1^3+3=4,
\frac{f(1+h)-f(1)}{h} =\frac{(1+h)^3+3-4}{h} =\frac{1+3h+3h^2+h^3+3-4}{h} =\frac{3h+3h^2+h^3}{h} =3+3h+h^2.
Fazendo h\to0^-, obtemos
f'_{-}(1)=3.

Passo 3

Calcular a derivada à direita em x=1:
f'_{+}(1)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}.
Para h>0 temos 1+h>1, logo usamos f(x)=-x+5. Como f(1)=4,
\frac{f(1+h)-f(1)}{h} =\frac{[-(1+h)+5]-4}{h} =\frac{-1-h+5-4}{h} =\frac{-h}{h} =-1.
Fazendo h\to0^+, obtemos
f'_{+}(1)=-1.

Passo 4

Como
f'_{-}(1)=3 \quad\text{e}\quad f'_{+}(1)=-1,
os limites laterais do quociente incremental não coincidem. Portanto, a derivada em x=1 não existe.

Resposta

A função f não é derivável em x=1 porque as derivadas laterais são diferentes ( 3\neq -1).

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