(6 pontos) Encontre os extremos relativos da função f(x)=-x e^{\frac{-x^{2}}{2}} dada usando o teste da derivada segunda

Passo 1

O enunciado pede os extremos relativos de f(x) = -x\,e^{-x^2/2} usando o teste da segunda derivada. Para isso vamos calcular f'(x), achar os pontos críticos resolvendo f'(x)=0, obter f''(x) e então usar o sinal de f'' nesses pontos para classificar máximos e mínimos.

Passo 2

Usando a regra do produto em
f(x) = -x\cdot e^{-x^2/2},
temos
f'(x) = (-1)\,e^{-x^2/2} + (-x)\,\bigl(e^{-x^2/2}\bigr)'\!.
Como \bigl(e^{-x^2/2}\bigr)' = e^{-x^2/2}\cdot(-x), fica
f'(x) = -e^{-x^2/2} + x^2\,e^{-x^2/2} = (x^2 - 1)\,e^{-x^2/2}.

Passo 3

Os pontos críticos vêm de f'(x)=0. Como e^{-x^2/2}\neq0 para todo x, basta
x^2 - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 1.

Passo 4

Calculamos a segunda derivada a partir de
f'(x) = (x^2 - 1)\,e^{-x^2/2}.
Novamente aplicando produto,
f''(x) = 2x\,e^{-x^2/2} + (x^2 - 1)\,\bigl(e^{-x^2/2}\bigr)' = 2x\,e^{-x^2/2} + (x^2 - 1)\,(-x)\,e^{-x^2/2}
\phantom{f''(x)} = e^{-x^2/2}\bigl(2x - x^3 + x\bigr) = x\,(3 - x^2)\,e^{-x^2/2}.

Passo 5

Agora aplicamos o teste da segunda derivada nos pontos críticos:
f''(-1) = (-1)\,(3 - 1)\,e^{-1/2} = -2\,e^{-1/2} < 0 \quad\Longrightarrow\quad \text{máximo relativo em } x = -1,á
f''(1) = 1\,(3 - 1)\,e^{-1/2} = 2\,e^{-1/2} > 0 \quad\Longrightarrow\quad \text{mínimo relativo em } x = 1.í

Passo 6

Para completar, calculamos os valores de f nesses pontos:
f(-1) = -(-1)\,e^{-1/2} = e^{-1/2}, \qquad f(1) = -1\cdot e^{-1/2} = -\,e^{-1/2}.

Resposta

Máximo relativo em x = -1, com valor f(-1) = e^{-1/2}.
Mínimo relativo em x = 1, com valor f(1) = -\,e^{-1/2}.

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