(6 pontos) Encontre os extremos relativos da função
dada usando o teste da derivada segunda
Passo 1
O enunciado pede os extremos relativos de
usando o teste da segunda derivada. Para isso vamos calcular
, achar os pontos críticos resolvendo
, obter
e então usar o sinal de
nesses pontos para classificar máximos e mínimos.
Passo 2
Usando a regra do produto em
temos
Como
, fica
Passo 3
Os pontos críticos vêm de
. Como
para todo
, basta
Passo 4
Calculamos a segunda derivada a partir de
Novamente aplicando produto,
Passo 5
Agora aplicamos o teste da segunda derivada nos pontos críticos:
Passo 6
Para completar, calculamos os valores de
nesses pontos:
Resposta
Máximo relativo em
, com valor
.
Mínimo relativo em , com valor
.
Mínimo relativo em