Encontre a equação da reta tangente no ponto dado.
f(x)=\frac{x-1}{x-2}, P=(3, f(3));

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de
f(x) = \frac{x - 1}{x - 2}
no ponto P = (3, f(3)). Para isso, vamos calcular f(3), obter a derivada f'(x) (que dá o coeficiente angular) e, então, usar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Calcular a ordenada de P substituindo x=3 em f(x):
f(3) = \frac{3 - 1}{3 - 2} = \frac{2}{1} = 2.
Logo, P = (3,2).

Passo 3

Determinar f'(x) pela regra do quociente. Seja
u(x) = x - 1,\quad v(x) = x - 2,
então u'(x)=1 e v'(x)=1 e
f'(x) = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{1\cdot(x-2) - (x-1)\cdot1}{(x-2)^2} = \frac{x - 2 - x + 1}{(x-2)^2} = \frac{-1}{(x-2)^2}.

Passo 4

Avaliar a derivada em x=3 para achar o coeficiente angular m:
m = f'(3) = \frac{-1}{(3-2)^2} = -1.

Passo 5

Usar a forma ponto-inclinação da reta tangente,
y - y_0 = m\,(x - x_0),
com (x_0,y_0)=(3,2) e m=-1:
y - 2 = -1\,(x - 3) \quad\Longrightarrow\quad y = -x + 5.

Resposta

y = -x + 5.

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