(15 pontos) A equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio pode ser resolvida através do método de separação de variáveis. A solução da parte angular introduz o número quântico l. A equação radial resultante pode então ser solucionada por meio de uma expansão em série de potências. Nesta abordagem, a função de onda radial R(r) é expressa como:
R(r)=1r rho^l+1 e^-rho sumj=0^infty Cj rho^j
onde rho=kappa r, com kappa=raiz-2 m E / hbar. Aqui, m é a massa do elétron, E é a energia (negativa para estados ligados), e 亢 é a constante de Planck reduzida. O termo l é o número quântico azimutal (ou orbital), um inteiro não negativo ( l=0,1,2, ldots ).
Os coeficientes Cj da expansão em série satisfazem a seguinte relação de recorrência:
Cj+1=2(j+l+1)-rho0(j+1)(j+2 l+2) Cj
sendo
rho0=m e^22 pi epsilon0 hbar^2 kappa=2a0 kappa
Nesta expressão, e é a carga elementar, epsilon0 é a permissividade do vácuo, e a0=4 pi epsilon0 hbar^2m e^2 é o raio de Bohr.
Para que a função de onda seja normalizável, ou seja, fisicamente aceitável, a série de potências precisa ser finita (truncada). Isso significa que para um determinado valor de j=j máx á, o coeficiente Cj máx +1á deve ser zero, e consequentemente todos os coeficientes subsequentes também serão nulos.
Com base nessas informações, determine:
(a) Os possíveis valores de energia E para o átomo de hidrogênio.
(b) A expressão para a parte radial da função de onda Rn, l(r) correspondente aos dois menores níveis de energia do átomo de hidrogênio (considerando todos os possíveis valores de l para cada nível de energia).

Passo 1

O enunciado mostra que, ao resolver a parte radial da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio por série de potências, a função radial assume a forma
R(r)=1r,rho^,l+1e^-rhosumj=0^infty Cj,rho^j,
com rho=kappa r e coeficientes Cj obedecendo à recorrência
Cj+1=2(j+l+1)-rho0(j+1)(j+2l+2),Cj,
rho0=2/(a0kappa). Para que a série pare (função normalizável), é preciso que, para algum j=jmax, Cjmax+1=0. Vamos usar isso para (a) obter os valores de energia E e (b) escrever explicitamente Rn,l(r) para os dois menores níveis de energia ( n=1 e n=2, com todos os l possíveis).

Passo 2

A condição Cjmax+1=0 implica no numerador da recorrência nulo:
2l(jmax+l+1r)-rho0=0 ;Longrightarrow; rho0=2l(jmax+l+1r)
Definindo o número quântico principal
n=jmax+l+1,
temos rho0=2n. Como rho0=2/(a0kappa), obtemos
2a0kappa=2n ;Longrightarrow; kappa=1n,a0

Passo 3

Pela definição kappa=raiz-2mE/hbar, segue
raiz-2mEhbar=1n,a0 ;Longrightarrow; -2mE=hbar^2n^2a0^2 ;Longrightarrow; En=-hbar^22m,a0^2,1n^2
Esta é a famosa série de níveis de energia do hidrogênio.

Passo 4

Para cada (n,l), a função radial truncada é
Rn,l(r) =1r,rho^,l+1e^-rho sumj=0^n-l-1Cj,rho^j, rho=rn,a0,
onde os Cj formam o polinômio de grau n-l-1. Nos casos mais baixos vamos determinar esses polinômios e usar os fatores de normalização padrão:
N10=2,a0^-tfrac32, N20=12raiz2,a0^-tfrac32, N21=12raiz6,a0^-tfrac32

Passo 5

Para n=1 só existe l=0 (pois n-l-1>=0). Então jmax=0 e o polinômio é constante. Com kappa=1/a0 temos
R1,0(r) =N10,e^-r/a0 =2,a0^-tfrac32e^-r/a0

Passo 6

Para n=2 há dois valores de l:
l=0: então jmax=2-0-1=1. Com rho0=4, a recorrência dá
C1 =2(0+0+1)-41cdot2,C0 =-1cdot C0,
logo o polinômio é C0(1-rho). Com rho=r/(2a0) e kappa=1/(2a0), resulta
R2,0(r) =N20,(1-tfracr2a0),e^-r/(2a0) =12raiz2,a0^3/2l(2-ra0r)e^-r/(2a0)
l=1: então jmax=2-1-1=0. O polinômio é constante e
R2,1(r) =N21,rho^1,e^-rho =N21,r2a0e^-r/(2a0) =12raiz6,a0^3/2;ra0;e^-r/(2a0)

Resposta

(a)
En=-hbar^22m,a0^2,1n^2, n=1,2,3,dots
(b)
R1,0(r)=2,a0^-tfrac32e^-r/a0,
R2,0(r)=12raiz2,a0^3/2l(2-ra0r)e^-r/(2a0), R2,1(r)=12raiz6,a0^3/2;ra0;e^-r/(2a0)

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