(15 pontos) A equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio pode ser resolvida através do método de separação de variáveis. A solução da parte angular introduz o número quântico l. A equação radial resultante pode então ser solucionada por meio de uma expansão em série de potências. Nesta abordagem, a função de onda radial
é expressa como:
onde
, com
. Aqui,
é a massa do elétron,
é a energia (negativa para estados ligados), e 亢 é a constante de Planck reduzida. O termo l é o número quântico azimutal (ou orbital), um inteiro não negativo (
).
Os coeficientes
da expansão em série satisfazem a seguinte relação de recorrência:
sendo
Nesta expressão, e é a carga elementar,
é a permissividade do vácuo, e
é o raio de Bohr.
Para que a função de onda seja normalizável, ou seja, fisicamente aceitável, a série de potências precisa ser finita (truncada). Isso significa que para um determinado valor de
, o coeficiente
deve ser zero, e consequentemente todos os coeficientes subsequentes também serão nulos.
Com base nessas informações, determine:
(a) Os possíveis valores de energia
para o átomo de hidrogênio.
(b) A expressão para a parte radial da função de onda
correspondente aos dois menores níveis de energia do átomo de hidrogênio (considerando todos os possíveis valores de l para cada nível de energia).
Os coeficientes
Para que a função de onda seja normalizável, ou seja, fisicamente aceitável, a série de potências precisa ser finita (truncada). Isso significa que para um determinado valor de
Com base nessas informações, determine:
(a) Os possíveis valores de energia
(b) A expressão para a parte radial da função de onda
Passo 1
O enunciado mostra que, ao resolver a parte radial da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio por série de potências, a função radial assume a forma
com
e coeficientes
obedecendo à recorrência
Passo 2
A condição
implica no numerador da recorrência nulo:
Definindo o número quântico principal
temos
. Como
, obtemos
Passo 3
Pela definição
, segue
Esta é a famosa série de níveis de energia do hidrogênio.
Passo 4
Para cada
, a função radial truncada é
onde os
formam o polinômio de grau
. Nos casos mais baixos vamos determinar esses polinômios e usar os fatores de normalização padrão:
Passo 5
Para
só existe
(pois
). Então
e o polinômio é constante. Com
temos
Passo 6
Para
há dois valores de
:
: então
. Com
, a recorrência dá
logo o polinômio é
. Com
e
, resulta
Resposta
(a)
(b)