(15 pontos) O Hamiltoniano do oscilador harmônico unidimensional é dado por:
onde o operador de aniquilação
é definido como:
e o operador de criação
é o seu adjunto hermitiano. Sabendo que a relação de comutação entre
e
é
, determine as relações de comutação desses operadores com o Hamiltoniano
. Utilizando esses resultados é possível demonstrar as propriedades de levantamento e abaixamento dos operadores
e
, permitindo encontrar o espectro de energia do oscilador harmônico, dado por
, onde
é um inteiro não negativo
. Considerando que o autoestado
é normalizado, mostre que:
e
. Com esses resultados, obtenha os valores esperados de
e
para o estado
.
Passo 1
O enunciado dá o Hamiltoniano do oscilador harmônico unidimensional
com os operadores
Pede-se (i) as relações de comutação
e
, (ii) as ações de
e
sobre os autoestados
de energia
, e (iii) os valores esperados
no estado
.
Passo 2
Definindo o número quântico
, temos
Usando
e
, obtemos
Passo 3
Aplique
sobre
:
Logo
é autoestado de
com energia
. De modo análogo
Portanto
e
.
Passo 4
Para determinar as constantes de normalização, calcule
Isto implica
Passo 5
Expressões de
e
em termos de
:
Como
e
, segue
Passo 6
Para
:
Para
: