(15 pontos) O Hamiltoniano do oscilador harmônico unidimensional é dado por: H=h omega(a^dag>=r a+12) onde o operador de aniquilação a é definido como: a=raizm omega2 h x+iraiz2 m omega h p e o operador de criação a^dag>=r é o seu adjunto hermitiano. Sabendo que a relação de comutação entre a e a^dag>=r é [a, a^dag>=r]=1, determine as relações de comutação desses operadores com o Hamiltoniano H. Utilizando esses resultados é possível demonstrar as propriedades de levantamento e abaixamento dos operadores a^dag>=r e a, permitindo encontrar o espectro de energia do oscilador harmônico, dado por H|varphinrang<==hbar omega(n+12)|varphinrang<=, onde n é um inteiro não negativo (n=0,1,2, ldots). Considerando que o autoestado |varphinrang<= é normalizado, mostre que: a|varphinrang<==raizn|varphin-1rang<= e a^dag>=r|varphinrang<==raizn+1|varphin+1rang<=. Com esses resultados, obtenha os valores esperados de lang<= xrang<=,lang<= prang<=,lang<= x^2rang<= e lang<= p^2rang<= para o estado |varphinrang<=.

Passo 1

O enunciado dá o Hamiltoniano do oscilador harmônico unidimensional
H = hbaromegal(a^dag>=ra + tfrac12r)
com os operadores
a = raizmomega2hbar,x + iraiz2momegahbar,p, l[a,a^dag>=rr]=1
Pede-se (i) as relações de comutação l[H,ar] e l[H,a^dag>=rr], (ii) as ações de a e a^dag>=r sobre os autoestados lvertvarphinrang<= de energia En=hbaromega(n+tfrac12), e (iii) os valores esperados lang<= xrang<=,lang<= prang<=,lang<= x^2rang<=,lang<= p^2rang<= no estado lvertvarphinrang<=.

Passo 2

Definindo o número quântico N=a^dag>=ra, temos
H=hbaromegal(N+tfrac12r)
Usando l[N,ar]=-a e l[N,a^dag>=rr]=a^dag>=r, obtemos
l[H,ar] =hbaromegal[N,ar] =-hbaromega,a,
l[H,a^dag>=rr] =hbaromegal[N,a^dag>=rr] =+hbaromega,a^dag>=r

Passo 3

Aplique H sobre alvertvarphinrang<=:
H,alvertvarphinrang<= =l(aH + [H,a]r)lvertvarphinrang<= =aEnlvertvarphinrang<= - hbaromega,alvertvarphinrang<= =En-1,alvertvarphinrang<=
Logo alvertvarphinrang<= é autoestado de H com energia En-1. De modo análogo
H,a^dag>=rlvertvarphinrang<= =En+1,a^dag>=rlvertvarphinrang<=
Portanto alvertvarphinrang<=proptolvertvarphin-1rang<= e a^dag>=rlvertvarphinrang<=proptolvertvarphin+1rang<=.

Passo 4

Para determinar as constantes de normalização, calcule
lang<=varphin|,a^dag>=ra,|varphinrang<= =n, lang<=varphin|,aa^dag>=r,|varphinrang<= =n+1
Isto implica
alvertvarphinrang<= = raizn,lvertvarphin-1rang<=, a^dag>=rlvertvarphinrang<= = raizn+1,lvertvarphin+1rang<=

Passo 5

Expressões de x e p em termos de a,a^dag>=r:
x = raizhbar2momega,(a + a^dag>=r), p = i,raizmhbaromega2,(a^dag>=r-a)
Como lang<=varphin|a|varphinrang<==0 e lang<=varphin|a^dag>=r|varphinrang<==0, segue
lang<= xrang<= = 0, lang<= prang<= = 0

Passo 6

Para lang<= x^2rang<=:
x^2 = hbar2momega,(a + a^dag>=r)^2
lang<= x^2rang<= =hbar2momega llang<= a^2 + aa^dag>=r + a^dag>=ra + (a^dag>=r)^2rrang<= =hbar2momega(2n+1)
Para lang<= p^2rang<=:
p^2 = -mhbaromega2,(a^dag>=r-a)^2
lang<= p^2rang<= =mhbaromega2(2n+1)

Resposta

lang<= xrang<==0, lang<= prang<==0, lang<= x^2rang<= = hbar2momega(2n+1), lang<= p^2rang<= = mhbaromega2(2n+1)

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