(15 pontos) Questão 5: Determinar as equações do plano que contenha o ponto A(4,2,1) e a reta: ly=x-2 z=2 x+5
a) Equação geral do plano.
b) Equações paramétricas do plano.

Passo 1

O enunciado pede o plano que passa pelo ponto
O conteúdo é geometria analítica de planos em .

Passo 2

Primeiro, parametricemos a reta. Tomando parâmetro t,
x = t, y = t - 2, z = 2t + 5
Um ponto nela é P0=(0,-2,5) (para t=0) e seu vetor diretor é
v = (1,1,2)

Passo 3

Como o plano também deve conter A(4,2,1), outro vetor no plano é
w = P0A = (4,2,1) - (0,-2,5) = (4,4,-4)

Passo 4

O vetor normal do plano aparece como
n = v times w = i & j & k 1 & 1 & 2 4 & 4 & -4 = (-12,,12,,0)
Podemos simplificar para n = (1,-1,0).

Passo 5

A equação geral do plano com normal n=(1,-1,0) e passando por A(4,2,1) é
ncdotl((x,y,z)-(4,2,1)r)=0 Longrightarrow 1,(x-4)-1,(y-2)+0,(z-1)=0,
ou seja
x - y -2 = 0

Passo 6

Para as equações paramétricas, usamos A como ponto de apoio e dois vetores diretores v e w. Assim
r(u,v) = (4,2,1) + u,(1,1,2) + v,(4,4,-4)
Escrevendo em coordenadas, com parâmetros u,vinR:
x = 4 + u + 4v, y = 2 + u + 4v, z = 1 + 2u - 4v

Resposta

a)

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