(10 pontos) Questão 3: Dadas as retas e concorrentes, encontre o ponto de interseção das retas.

Passo 1

O enunciado pede o ponto de interseção de duas retas concorrentes no espaço. O conteúdo envolve parametrização de retas e solução de sistema para igualar coordenadas. Vamos parametrizar cada reta, igualar as coordenadas x,y,z e resolver para os parâmetros.

Passo 2

Parametrizamos r1 por um parâmetro s. Assim,
r1: x=s, y=-3s+2, z=3s-1
A reta r2 já vem parametrizada por t:
r2: x=-t, y=1+2t, z=-2t

Passo 3

Para que o ponto pertença a ambas, igualamos as abscissas:
s = -t

Passo 4

Substituímos s=-t na igualdade das ordenadas:
1+2t = -3s+2 = -3(-t)+2 = 3t+2
Logo,
1+2t = 3t+2 Longrightarrow -t = 1 Longrightarrow t=-1

Passo 5

Com t=-1 segue s=-t=1. Verificamos a coordenada z:
zr2=-2t = -2(-1)=2, zr1=3s-1=3cdot1-1=2,
confirmando consistência.

Passo 6

O ponto de interseção obtém-se substituindo t=-1 em r2:
x=-(-1)=1, y=1+2(-1)=-1, z=2

Resposta

O ponto de interseção é ,(1,-1,2).

Exercícios relacionados