(20 pontos) Questão 4: Escrever as equações da reta que passam pelos pontos A(1,3,-2) e B(2,-1,1).
a) Equação geral
b) Equações paramétricas
c) Equações simétricas
d) Equações reduzidas na variável z.

Passo 1

O enunciado nos dá dois pontos em R^3, A(1,3,-2) e B(2,-1,1), e pede várias formas de escrever a reta que passa por esses pontos. O conteúdo é geometria analítica em três dimensões; vamos precisar do vetor direção vec v = AB e depois usar representações vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida.

Passo 2

Para encontrar a direção da reta, calculamos o vetor AB = B - A. Em coordenadas:
AB = (2-1,;-1-3,;1-(-2)) = (1,,-4,;3)
Esse será nosso vetor direção vec v.

Passo 3

A equação vetorial (ou geral) da reta com ponto base e direção é

Passo 4

Das componentes da equação vetorial, obtemos as equações paramétricas:
x = 1 + t, y = 3 - 4t, z = -2 + 3t

Passo 5

Eliminando o parâmetro t de cada equação paramétrica, chegamos à forma simétrica:
x-11 ;=;y-3-4;=;z+23

Passo 6

Para obter as equações reduzidas na variável z, isolamos t em z = -2 + 3t, ou seja
t = z+23,
e substituímos em x e y:
x = 1 + z+23, y = 3 - 4cdotz+23

Resposta

a) vec r = (1,3,-2) + t,(1,-4,3).
b) x=1+t,;y=3-4t,;z=-2+3t.
c) x-11=y-3-4=z+23
d) x=1+z+23, y=3-4,(z+2)3

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