(15 pontos) Seja
o conjunto dos números reais e considere as seguintes operações de adição e multiplicação por escalar definidas para
Demonstre que
é um espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
que é o conjunto dos números reais (ou seja,
) com operações especiais definidas por:
O que o problema pede: demonstrar que
com essas operações é um espaço vetorial sobre o corpo
. Ou seja, preciso verificar todas as propriedades exigidas pela definição de espaço vetorial (fechamento, existência de elemento neutro aditivo, inverso aditivo, comutatividade, associatividade da soma, e as propriedades de multiplicação por escalar).
Passo 2
Fechamento das operações (primeiro requisito prático).
- Para quaisquer
temos . Portanto . Logo a adição está fechada. - Para qualquer
e qualquer temos . Portanto . Logo a multiplicação por escalar está fechada.
Isto garante que as operações realmente devolvem elementos de.
Passo 3
Comutatividade da adição.
Explicar a ideia: a operação usa a soma usual de reais, que é comutativa, e subtrai 1 depois — isso preserva a comutatividade.
Cálculo:
Explicar a ideia: a operação
Cálculo:
Como
na soma usual, conclui-se que
Passo 4
Associatividade da adição.
Explicar a ideia: associatividade vem da associatividade da soma usual de reais; o termo constante aparece uma vez em cada soma definida e a contagem dá certo.
Cálculo: para quaisquer ,
Explicar a ideia: associatividade vem da associatividade da soma usual de reais; o termo constante
Cálculo: para quaisquer
Portanto
ou seja,
é associativa.
Passo 5
Existência do elemento neutro aditivo (vetor zero).
Definição: um elemento é neutro se
para todo
.
Resolver a equação para :
Definição: um elemento
Resolver a equação para
Isto implica
. Verificação explícita:
Logo
é o elemento neutro aditivo. Em notação de espaço vetorial tradicional, o “vetor zero” aqui é
.
Passo 6
Existência do inverso aditivo para cada vetor.
Definição: dado , o inverso aditivo
satisfaz
(porque
é o neutro).
Resolver:
Definição: dado
Resolver:
Verificação:
Portanto, para cada
o inverso aditivo é
, que pertence a
. Isso garante a existência de inversos aditivos.
Passo 7
Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares (associatividade escalar).
Propriedade a verificar: para quaisquer
e
.
Cálculo do lado esquerdo:
Propriedade a verificar:
Cálculo do lado esquerdo:
Cálculo do lado direito:
Simplificando o lado direito:
Logo os dois lados coincidem:
Passo 8
Elemento neutro escalar (multiplicação por
).
Propriedade a verificar: para todo
.
Cálculo:
Propriedade a verificar:
Cálculo:
Portanto a ação do escalar
preserva o vetor, como exigido.
Passo 9
Distributividade do escalar em relação à soma de vetores.
Propriedade: .
Cálculo do lado esquerdo:
Propriedade:
Cálculo do lado esquerdo:
Simplificando:
Cálculo do lado direito:
Simplificando:
Os dois lados coincidem, então a propriedade de distributividade do escalar sobre a soma vetorial vale.
Passo 10
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares.
Propriedade: .
Cálculo do lado esquerdo:
Propriedade:
Cálculo do lado esquerdo:
Cálculo do lado direito:
Simplificando:
Os dois lados coincidem, logo a propriedade vale.
Passo 11
Resumo e conclusão das verificações restantes.
Foram verificadas:
Foram verificadas:
- fechamento das operações;
- comutatividade e associatividade da soma
; - existência do elemento neutro aditivo
e do inverso aditivo para cada ; - compatibilidade da multiplicação escalar com produto de escalares;
- existência do escalar
atuando como identidade; - distributividades exigidas.
Estas são todas as propriedades requeridas para queseja um espaço vetorial sobre .
Resposta
O elemento neutro aditivo é