(15 pontos) Seja V o conjunto dos números reais e considere as seguintes operações de adição e multiplicação por escalar definidas para
\begin{gathered} \vec{x} \bigoplus \vec{y}=x+y-1 \\\ \beta \odot \vec{x}=\beta \cdot x+(1-\beta) \end{gathered}
Demonstre que V é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto V que é o conjunto dos números reais (ou seja, V=\mathbb{R}) com operações especiais definidas por:
\vec{x}\bigoplus\vec{y}=x+y-1
\beta\odot\vec{x}=\beta\cdot x+(1-\beta)
O que o problema pede: demonstrar que V com essas operações é um espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R}. Ou seja, preciso verificar todas as propriedades exigidas pela definição de espaço vetorial (fechamento, existência de elemento neutro aditivo, inverso aditivo, comutatividade, associatividade da soma, e as propriedades de multiplicação por escalar).

Passo 2

Fechamento das operações (primeiro requisito prático).
  • Para quaisquer x,y\in\mathbb{R} temos x+y-1\in\mathbb{R}. Portanto \vec{x}\bigoplus\vec{y}\in V. Logo a adição está fechada.
  • Para qualquer \beta\in\mathbb{R} e qualquer x\in\mathbb{R} temos \beta x+(1-\beta)\in\mathbb{R}. Portanto \beta\odot\vec{x}\in V. Logo a multiplicação por escalar está fechada.
    Isto garante que as operações realmente devolvem elementos de V.

Passo 3

Comutatividade da adição.
Explicar a ideia: a operação \bigoplus usa a soma usual de reais, que é comutativa, e subtrai 1 depois — isso preserva a comutatividade.
Cálculo:
\vec{x}\bigoplus\vec{y}=x+y-1
\vec{y}\bigoplus\vec{x}=y+x-1
Como x+y=y+x na soma usual, conclui-se que
\vec{x}\bigoplus\vec{y}=\vec{y}\bigoplus\vec{x}.

Passo 4

Associatividade da adição.
Explicar a ideia: associatividade vem da associatividade da soma usual de reais; o termo constante -1 aparece uma vez em cada soma definida e a contagem dá certo.
Cálculo: para quaisquer x,y,z\in\mathbb{R},
(\vec{x}\bigoplus\vec{y})\bigoplus\vec{z}=(x+y-1)\bigoplus z=(x+y-1)+z-1=x+y+z-2,
\vec{x}\bigoplus(\vec{y}\bigoplus\vec{z})=x\bigoplus(y+z-1)=x+(y+z-1)-1=x+y+z-2.
Portanto
(\vec{x}\bigoplus\vec{y})\bigoplus\vec{z}=\vec{x}\bigoplus(\vec{y}\bigoplus\vec{z}),
ou seja, \bigoplus é associativa.

Passo 5

Existência do elemento neutro aditivo (vetor zero).
Definição: um elemento e\in V é neutro se \vec{x}\bigoplus e=\vec{x} para todo x.
Resolver a equação para e:
\vec{x}\bigoplus e = x+e-1 = x.
Isto implica e=1. Verificação explícita:
\vec{x}\bigoplus 1 = x+1-1 = x,
1\bigoplus\vec{x} = 1+x-1 = x.
Logo 1 é o elemento neutro aditivo. Em notação de espaço vetorial tradicional, o “vetor zero” aqui é 1\in\mathbb{R}.

Passo 6

Existência do inverso aditivo para cada vetor.
Definição: dado \vec{x}, o inverso aditivo \vec{y} satisfaz \vec{x}\bigoplus\vec{y}=1 (porque 1 é o neutro).
Resolver:
x+y-1=1 \quad\Rightarrow\quad y=2-x.
Verificação:
\vec{x}\bigoplus(2-x)=x+(2-x)-1=1,
(2-x)\bigoplus\vec{x}=(2-x)+x-1=1.
Portanto, para cada x o inverso aditivo é 2-x, que pertence a \mathbb{R}. Isso garante a existência de inversos aditivos.

Passo 7

Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares (associatividade escalar).
Propriedade a verificar: (\alpha\beta)\odot\vec{x}=\alpha\odot(\beta\odot\vec{x}) para quaisquer \alpha,\beta\in\mathbb{R} e x\in\mathbb{R}.
Cálculo do lado esquerdo:
(\alpha\beta)\odot\vec{x}=(\alpha\beta)x+(1-\alpha\beta).
Cálculo do lado direito:
\beta\odot\vec{x}=\beta x+(1-\beta),
\alpha\odot(\beta\odot\vec{x})=\alpha\bigl(\beta x+(1-\beta)\bigr)+(1-\alpha)=\alpha\beta x+\alpha(1-\beta)+(1-\alpha).
Simplificando o lado direito:
\alpha\beta x+\alpha-\alpha\beta+1-\alpha=\alpha\beta x+1-\alpha\beta.
Logo os dois lados coincidem:
(\alpha\beta)\odot\vec{x}=\alpha\odot(\beta\odot\vec{x}).

Passo 8

Elemento neutro escalar (multiplicação por 1).
Propriedade a verificar: 1\odot\vec{x}=\vec{x} para todo x.
Cálculo:
1\odot\vec{x}=1\cdot x+(1-1)=x+0=x.
Portanto a ação do escalar 1 preserva o vetor, como exigido.

Passo 9

Distributividade do escalar em relação à soma de vetores.
Propriedade: \alpha\odot(\vec{x}\bigoplus\vec{y})=(\alpha\odot\vec{x})\bigoplus(\alpha\odot\vec{y}).
Cálculo do lado esquerdo:
\alpha\odot(\vec{x}\bigoplus\vec{y})=\alpha\odot(x+y-1)=\alpha(x+y-1)+(1-\alpha)=\alpha x+\alpha y-\alpha+1-\alpha.
Simplificando:
\alpha x+\alpha y+1-2\alpha.
Cálculo do lado direito:
\alpha\odot\vec{x}=\alpha x+(1-\alpha),\qquad \alpha\odot\vec{y}=\alpha y+(1-\alpha),
(\alpha\odot\vec{x})\bigoplus(\alpha\odot\vec{y})=\bigl(\alpha x+(1-\alpha)\bigr)+\bigl(\alpha y+(1-\alpha)\bigr)-1.
Simplificando:
\alpha x+\alpha y+2(1-\alpha)-1=\alpha x+\alpha y+1-2\alpha.
Os dois lados coincidem, então a propriedade de distributividade do escalar sobre a soma vetorial vale.

Passo 10

Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares.
Propriedade: (\alpha+\beta)\odot\vec{x}=(\alpha\odot\vec{x})\bigoplus(\beta\odot\vec{x}).
Cálculo do lado esquerdo:
(\alpha+\beta)\odot\vec{x}=(\alpha+\beta)x+\bigl(1-(\alpha+\beta)\bigr)=\alpha x+\beta x+1-\alpha-\beta.
Cálculo do lado direito:
\alpha\odot\vec{x}=\alpha x+(1-\alpha),\qquad \beta\odot\vec{x}=\beta x+(1-\beta),
(\alpha\odot\vec{x})\bigoplus(\beta\odot\vec{x})=\bigl(\alpha x+(1-\alpha)\bigr)+\bigl(\beta x+(1-\beta)\bigr)-1.
Simplificando:
\alpha x+\beta x+2- \alpha-\beta -1=\alpha x+\beta x+1-\alpha-\beta.
Os dois lados coincidem, logo a propriedade vale.

Passo 11

Resumo e conclusão das verificações restantes.
Foram verificadas:
  • fechamento das operações;
  • comutatividade e associatividade da soma \bigoplus;
  • existência do elemento neutro aditivo 1 e do inverso aditivo 2-x para cada x;
  • compatibilidade da multiplicação escalar com produto de escalares;
  • existência do escalar 1 atuando como identidade;
  • distributividades exigidas.
    Estas são todas as propriedades requeridas para que (V,\bigoplus,\odot) seja um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Resposta

V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
O elemento neutro aditivo é 1 e o inverso aditivo de x é 2-x.

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